Matematik

plan og kugle

10. april 2009 af Helski (Slettet)

I et koordinatsystem i rummet har en kugle ligningen: x²+y²+z²+4x-6y-8z+4=0 og punktet P(1,-1,4) ligger på kuglen

Jeg skal nu bestemme en ligning for tangentplanen til kuglen i P

Er lidt i tvivl om hvordan jeg skal gøre, men mener man skal sætte noget ind i ligningen

Brugbart svar (0)

Svar #1
10. april 2009 af Exupery (Slettet)

Du kan starte med at omskrive kuglens ligning. Så får du jo radius, og tangentplanen må jo nødvendigvis have et eller andet at gøre med radius, ikke?

Brugbart svar (0)

Svar #2
10. april 2009 af Exupery (Slettet)

x2+y2+z2+4x-6y-8z+4=0

Brugbart svar (0)

Svar #3
10. april 2009 af Exupery (Slettet)

Glem #2, jeg ved ikke lige, hvad siden lavede.. :S

Brugbart svar (3)

Svar #4
10. april 2009 af mathon

x² + y² + z² + 4x - 6y - 8z + 4 = 0
omskrives
til
(x+2)² - 4 + (y-3)²- 9 + (z-4)² - 16 = -4 og reduceres yderligere
til

(x+2)² + (y-3)² + (z-4)² = -4 + 4 + 9 + 16 = 25

(x+2)² + (y-3)² + (z-4)² = 5²

...............

CP er normalvektor til den søgte plan gennem P(1,-1,4), som således kan beskrives
som
α: {Q(x,y,z)|CP*PQ = 0}

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. april 2009 af Exupery (Slettet)

Glem generelt bare mit råd og kør videre på Mathons..

Brugbart svar (0)

Svar #6
10. april 2009 af Erik Morsing (Slettet)

Du skal benytte, at hvis du har din graf z=f(x,y) i punktet (a,b,f(a,b)), så er ligningen for tangentplanen givet ved: z=f(a,b)+f₁(a,b)(x-a)+f₂(a,b)(y-b), hvor f₁(x,y) er den partielle afledede med hensyn til x og f₂(x,y) er givet ved dz/dy (partiel)

Brugbart svar (3)

Svar #7
10. april 2009 af mathon

CP = OP-OC = [1,-1,4] - [-2,3,4] = [3,-4,0]

vektorligningen CP*PQ = 0

[3,-4,0]*[x-1,y-(-1),z-4] = 0

hvoraf

3(x-1) + (-4)(y+1) = 0 sm reduceres til

α: 3x - 4y - 7 = 0

Svar #8
10. april 2009 af Helski (Slettet)

Tak for hjælpen:)

Svar #9
10. april 2009 af Helski (Slettet)

Hvad står PQ for???

Brugbart svar (0)

Svar #10
07. marts 2010 af RolandG (Slettet)

HVAD ER PQ ?

Brugbart svar (0)

Svar #11
08. marts 2011 af Peters (Slettet)

Det er blot en trykfejl..

tangentplanen er vinkelret på radius CP, dvs. vektoren (CP) ? er normalvektor til tangentplanen. Vi udregner nu (CP) ? :
(0P) ?- (0C) ?

Brugbart svar (3)

Svar #12
08. marts 2011 af mathon

CP = OP-OC = [1,-1,4] - [-2,3,4] = [3,-4,0]

vektorligningen CP*PQ = 0 hvor Q(x,y,z) er et vilkårligt punkt på cirkeltangenten

[3,-4,0]*[x-1,y-(-1),z-4] = 0

hvoraf

3(x-1) + (-4)(y+1) = 0 s0m reduceres til

α: 3x - 4y - 7 = 0

...........

Q er således ikke en trykfejl som forkert antydet i #11

Brugbart svar (0)

Svar #13
04. februar 2013 af Tiller93 (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #14
04. februar 2013 af mathon

Q er således ikke en trykfejl som forkert antydet i #11

men linje 2's
                             ...hvor Q(x,y,z) er et vilkårligt punkt på cirkeltangenten
   skal være
                             ...hvor Q(x,y,z) er et vilkårligt punkt på cirkelplanet

Brugbart svar (0)

Svar #15
13. august 2014 af jihudsif (Slettet)

Jeg har fået:

(x+2)^2 + (y-3)^2 + (z-4)^2 = 5^2

Radius = 5

Centrum: -2,3,4

bestemme en ligning for tangentplanen til kuglen i P - er metoden i #7 den eneste måde?

Brugbart svar (0)

Svar #16
13. august 2014 af mathon

eller:

    kuglen
                $\left (x-a \right )^2+\left (y-b \right )^2+\left (z-c \right )^2=r^2$
    har i punktet P(x_o,y_o,z_o)
    tangentplanen

$\left (x_o-a \right )\cdot \left (x-a \right )+\left (y_o-b \right )\cdot \left (y-b \right )+\left (z_o-c \right )\cdot \left (z-c \right )=r^2$

specifikt:

   kuglen
                $\left (x+2 \right )^2+\left (y-3 \right )^2+\left (z-4 \right )^2=5^2$
    har i punktet P(x_o,y_o,z_o)
    tangentplanen

$\left (1+2 \right )\cdot \left (x+2 \right )+\left (-1-3 \right )\cdot \left (y-3 \right )+\left (4-4 \right )\cdot \left (z-4 \right )=25$

$3\cdot \left (x+2 \right )-4\cdot \left (y-3 \right )+0=25$

3x-4y+6+12-25=0

$\alpha \! \! :\; \; \; 3x-4y-7=0$

Skriv et svar til: plan og kugle

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.