Matematik

2. matematik opgave.. træls.

27. november 2004 af shack (Slettet)

Har fået følgende opgave jeg ikke kan komme længere med:

Vi lader y=ax^2+bx+c. Vis at den gennemsnitlige ændring af y mht. x i intervallet [x1;x2] er lig med den øjeblikkelige ændring i intervalmidtpunktet 1/2 [x1+x2]

Jeg er kommet så langt:

Den øjeblikkelige ændring skal ses som tangenten.
Den gennemsnitlige ændring skal ses som sekanten.

Den øjeblikkelige ændring:
Her er det tangenten, så vi kan bare indsætte x i differentielkoefficienten:

f´(x) = 2x+b

y = 2a * (x1+x2/2) + b

Men hvordan skal jeg regne den gennemsnitlige ud? Har prøvet med
y2-y1 / x2-x1 , ved det får jeg:

a(x1+x2) + b

Så står der at man skal tegne en figur og forklar betydningen ved hjælp af denne. Kan jeg få lidt hjælp?

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. november 2004 af Jean

Den gennemsnitlige ændring er vel den totale ændring delt med længden af intervallet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Kommentarer til indlægget:

1) dy/dx = 2ax + b (ikke 2x+b).

og indsæt intervalmidtpunktet xm = (1/2)*(x1+x2). Din udregning er korrekt.

2) jf. #1.

Begge dele giver samme resultat. Geometrisk set betyder det, at hældningen af sekanten, som skærer parablen i intervalendepunkterne x1 og x2 er lig tangenthældningen i intervalmidtpunktet (x1+x2)/2.

Dette er et eksempel på en velkendt sætning inden for differentialregning:

"Middelværdisætningen"

Middelværdisætningen siger, at hvis du har en reel funktion f:[x1,x2]->R som er kontinuert på [x1,x2] og differentiabel på ]x1;x2[, så eksisterer der et d i ]x1;x2[ (dvs. et indre punkt) således, at

f'(d) = (f(x2)-f(x1))/(x2-x1)

Du har selv lige vist, at for et andengradspolynomium

f(x) = ax^2 + bx + c, a ikke-0

da er d = (x1+x2)/2, som tydeligvis ligger i ]x1;x2[.

Jeg tror, det var hensigten med opgaven, at illustrere middelværdisætningen.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #3
27. november 2004 af Epsilon (Slettet)

Lige et par ekstra bemærkninger til indlægget:

1) differentialkoefficient -> differentialkvotient

2) y = 2a*(x1+x2/2) + b -> dy/dx = 2a*((x1+x2)/2) + b

Det er jo ikke y = ax^2 + bx + c, du indsætter dit midtpunkt i, men differentialkvotienten dy/dx.

//Singularity

Svar #4
27. november 2004 af shack (Slettet)

Okay mange tak, jeg vil lige prøve at se om jeg kan få det lavet. Jeg har bare svært ved at se hvordan jeg skal tegne dem?

Brugbart svar (0)

Svar #5
27. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#4: Du tegner naturligvis blot et tænkt eksempel ud fra de givne oplysninger og dine beregninger. Jeg formoder, at det er meningen, at du skal illustrere geometrisk, hvad du har udledt algebraisk ved beregning.

//Singularity

Svar #6
28. november 2004 af shack (Slettet)

Så jeg skal vælge et x1 og x2, og indsætte det i:

y = a(x1+x2) + b

og

y = 2a * ((x1+x2)/2) + b ??

Kan jeg bare ikke få til at hænge sammen. Men vi har konkluderet at:

a(x1+x2) + b = 2a * ((x1+x2)/2) + b

??

Brugbart svar (0)

Svar #7
28. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#6: Ja, den ligning er da tydeligvis sand. Det jeg mener i #5 er, at du kan tegne et tænkt eksempel på en parabel med ligningen

y = ax^2 + bx + c, a ikke-0

som er graf for funktionen

f(x) = ax^2 + bx + c, a ikke-0

og dernæst afbilde to punkter x1 og x2 på x-aksen. Så tegner du en sekant gennem punkterne (x1,y1)=(x1,f(x1)) og (x2,y2)=(x2,f(x2)), som ligger på parablen.

Derefter tegner du en tangent til parablen i punktet

((x1+x2)/2,f((x1+x2)/2))

som jo har samme hældning som sekanten. Det er en geometrisk illustration af middelværdisætningen for et andengradspolynomium.

Er du med nu?

//Singularity

Svar #8
28. november 2004 af shack (Slettet)

Ja jeg er med, havde bare opfattet det lige mere konkret, men forstår det sagtens nu.

Svar #9
28. november 2004 af shack (Slettet)

Har lavet det nu, og får en tangent som skærer/tangere parablen 2 steder. Har valgt et x1 og x2 som var 2 og 6. Hvad er det jeg nu kan konkludere?

Svar #10
28. november 2004 af shack (Slettet)

Og jeg kan se på grafen, at der hvor den skærer er i x = 2 og x = 6. Hvad er konklussionen?

Svar #11
28. november 2004 af shack (Slettet)

Nej det er mig der vrøvler, den tangere kun grafen i et punkt... Hvad var det så jeg skulle gøre?

Svar #12
28. november 2004 af shack (Slettet)

Arh nu tror jeg jeg har forstået den. Jeg har lige indsat Punkterne der på grafen, og hvis jeg regner hældningskoefficienten ud på den, får jeg det samme som tangentens?

Brugbart svar (0)

Svar #13
28. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#11: Du tænker specifikt - du skal tænke generelt. Du skal overhovedet ikke bekymre dig om bestemte værdier. Din tegning skal blot fungere som illustration. Dine tidligere beregninger viser, at:

Givet en parabel med ligningen;

y = ax^2 + bx + c, a ikke-0

og et vilkårligt interval [x1,x2], x1
Hverken mere eller mindre.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #14
28. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#12: Ja - lige præcis, jf. #13.

//Singularity

Svar #15
28. november 2004 af shack (Slettet)

Jeg har skrevet følgende konklussion, ret mig for gudsskyld hvis det er forkert:

Vi indsætter nu 2 punkter på grafen,(x1,y1) og (x2,y2) som sekanten. Så hvis sekantens hældningskoefficient har samme hældningskoefficient som tangenten, kan vi konkludere at den gennemsnitlige ændring af y mht.. x i intervallet [x1+x2 ] er lig med den øjeblikkelige ændring i intervalmidtpunktet [x1+x2]/2 . Hvilket vi dog allerede har gjort en gang, men denne gang geometrisk.

Rigtigt?

Brugbart svar (0)

Svar #16
28. november 2004 af Epsilon (Slettet)

#15: Fint! Blot skal du lige ændre denne sætning:

"Vi indsætter nu 2 punkter på grafen,(x1,y1) og (x2,y2) som sekanten."

til

"Vi indsætter nu 2 punkter på grafen,(x1,y1) og (x2,y2) som sekanten gennemløber."

og denne:

"Så hvis sekantens hældningskoefficient har samme hældningskoefficient som tangenten"

til

"Så hvis sekantens hældningskoefficient er lig tangentens hældningskoefficient i intervalmidtpunktet"

//Singularity

Svar #17
28. november 2004 af shack (Slettet)

Mange tak, har aldrig haft en så drilsk matematik opgave før. Men nu fandt jeg da heldigvis ud af den. Kan ikke takke dig nok!

Skriv et svar til: 2. matematik opgave.. træls.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.