sammenhængen mellem areal og stamfunktion

Det er det med, at givet en (lad os sige kontinuert) funktion f : [a,b]->R, som er strengt positiv, altså grafen for f er altid over x-aksen. Så defineres integralet af f fra a til b som F(b)-F(a), hvor F er en (vilkårlig) stamfunktion til f.

Funktionen f skal være kontinuert for at sikre, at F eksisterer (men F kan også eksistere under svagere betingelser), og man bør tjekke, at udtrykket F(b)-F(a) er uafhængigt af valget af stamfunktion F.

Anyway, det viser sig, at F(b)-F(a) netop er arealet i intervallet fra a til b, under grafen for f, og over x-aksen.

Det kræver et bevis, som du sikkert kan finde i din bog. Kursorisk går det på, at definere en funktion A : [a,b] -> R, som vi kalder arealfunktionen. Den er defineret ved, at A(x) er arealet under f, men over x-aksen, i intervallet [a,x]. Man kan vise, at A er en stamfunktion til f, altså A'(x)=f(x) for alle x i [a,b].

Da integralet af f fra a til b er F(b)-F(a), hvor F er en eller anden stamfunktion til f, kan vi særligt vælge F=A.

Altså

§ f(x) dx (fra a til b) = A(b)-A(a) = A(b),

fordi A(a) pr. definition er 0. Men A(b) er jo netop arealet under f i intervallet fra a til b.

Hej, prøv at gå ind på matematik i dette link

http://www.frividen.dk/. Der bliver det gennemgået.

mvh. keg