{JF} - Integraler vol. 2

Mangler der noget til opgaven, eller har man: x, n og a at arbejde med.

Vi har x, som er variablen.Ydermere er n og a reelle tal, hvor |n| < 1. Det burde jeg nok have skrevet i starten.

Integralet er ellers skrevet rigtigt op, og der mangler ikke noget.

Jeg har har på fornemmelsen, at vi bevæger os over i Taylor eller Mc Laurin serier, men jeg kan ikke umiddelbart gennemskue den uden at bruge alt for megen tid.

∫₀^π (x / sinx) * log(1 + n*sinx) + [ x / (1 + cos(a) * sinx) ] + cos³(2x) - cos³(2x) * cos²(3x) dx

= ∫₀^π A + B + C dx, hvor

A = (x / sinx) * log(1 + n*sinx)

B = [ x / (1 + cos(a) * sinx) ]

C = cos³(2x) - cos³(2x) * cos²(3x)

Lad os starte med at se på C:

C = cos³(2x) (1 - cos²(3x)) = cos³(2x) · sin²(3x)

= [(e^i2x + e^-i2x ) / 2]³ · [(e^i3x - e^-i3x) / 2]²

= [1/(32i³)] · (e^i4x + e^-i4x - 2) · (e^i2x + e^-i2x) · (e^i6x + e^-i6x - 2e⁰)

= [-1/32] · (e^i6x + e^i2x + e^-i2x + e^-i6x - 2e^i2x + 2e^-i2x) · (e^i6x + e^-i6x - 2)

Hvoraf C kan integreres på den traditionelle form.

Lad os nu se på A:

A = ∫₀^π x/sinx  · log(1 + n · sinx) dx = ∫₀^π x [n - (n²/2) · sinx + (n³/3) · sin²x - ... ] dx

= (nπ² / 2) - (n² / 2) · π + (n³/3) · π · (1/2) · (π/2) - (n⁴/4) · π · (2/3) + (n⁵/5)π·(3/4)(1/2)(π/2) - ...

= π²/2 · sin^-1n - π(sin^-1n / 2)² , da |n| < 1.

For B har vi, at

B = ∫₀^π x/(1 + cosa sinx) dx = ∫₀^π x(1 - cosa · sinx + cos²a ·sin²x - ...)dx

= π [π/2 - cosa + cos²a · 1/2 · π/2 - cos³a · 2/3 + cos⁴a ·3/4 ·1/2 ·π/2 - cos⁵a ·4/5 · 2/3 + ...]

= -π[cosa + 2/3 · cos³a + (2·4 / 3·5) cos⁵a + ... ] + π²/2 · [1 + 1/2 cos²a + (1·3 / 2·4) cos⁴a + (1·3·5) / (2·4·6) cos⁶a + ...]

= -π · [(sin^-1cosa) / √(1 - cos²a)] + π²/2 · (1 - cos²a)^-0,5

= -π [(π/2 - a) / sina] + [π² / 2sina]

= π · a / sina

ja selvfølgelig, havde ikke overvejet den komplexe løsning, men den er jo så heller ikke til gymnasieeleverne

Ah! Hvis man er snedig, kan man løse B på en anderledes måde.

π - x = x

§ = ∫₀^π (π - x) / (1 + cosa · sinx) dx

= π ∫₀^π 1 / (1 + cosa · sinx) dx - §

§ = (π/2) ∫₀^π 1 / (1 + cosa · sinx) dx

= (π/2) ∫₀^π sec²x / [1 + 2cosa · tan(x/2) + tan²(x/2)] dx

= (π / sina) · {tan^-1( (tan(x/2) + cosa) / sina ) }₀^π

= (π / sina) [(π / 2) - tan^-1cota] = (π/sina) · tan^-1tan(a)

= πa/sina

Tak den skal man virkelig gå igennem med tættekam, jeg kan fortælle, at jeg talte med min gamle universitetsprofessor i går om den (siger dog ikke hvem selvfølgelig), for jeg har ikke fået svar endnu. Nej det hører til de svære, og man skal virkelig have sit stof present og ikke de gulnede ark, jeg ligger inde med i hovedet. Jeg brugte ellers en del tid på den og overvejede mange muligheder.

Vent lige med at komme med flere af den type - det trøster mig dog, at andre heller ikke gennemskuede den.

#7 Det kan godt være. Jeg har lagt en ny NEM opgave ud. Det er en 2. gradsligning, som man skal se på.

Hvad er det, som gør opgaven svær, Erik? Jeg kan godt være blind for den slags, fordi jeg færdes i et miljø, hvor det er common sense at løse disse opgaver. Måske burde jeg skippe alle opgaver af grad MELLEM?

At huske alle de trigonometriske omskrivninger, det er heller ikke hver dag, man bruger sec(x), selvom jeg selvfølgelig kender dem allesammen. Nej jeg tror ikke dette her er det rette forum for den slags, der var jo ingen, der svarede - ikke en gang min gamle lærer fra uni. Når du beskæftiger dig med det til daglig er det jo også nemmere for dig.

Ikke din gamle universitetslærer, som du endnu ikke havde fået svar fra?

Jo netop, min gamle lærer fra det daværende Odense Universitet har ikke svaret på opgaven, om det så er fordi han har for travlt, det ved jeg ikke. Men nu beskæftiger jeg mig med meget andet end matematik, så det er begrænset, hvor dybt jeg dykker ned i det. Men sjovt er det da med udfordringer, bare de ikke er så lange, jeg har også min gård at passe, selvom jeg ikke har dyr mere, og så er jeg forfatter og opfinder plus jeg oversætter engelsk og tysk. Der er ny bog på vej (en antologi), hvor jeg er med med to fortællinger. Den kommer på gaden i næste måned, så du kan se, at jeg er en travl mand.

Forresten så kan jeg ikke godtage Einsteins Lorentzfaktor, selvom det netop er den, der giver "beviset" på lysets hastighed (jævnfør The Classical Theory of Fields). Einstein "beviser" sin påstand med Euclids geometri (Fundamentels of Physics, pagina 1111). Da nu lyset bevæger sig i en parabelbane, så må grænsen på hastigheden skyldes, at der ikke er nok energi i universet til at accelerere noget op over denne hastighed, så beviset duer ikke. Jeg har faktisk skrevet en bog om disse ting. Har ligget i skrivebordsskuffen i mange år nu). Lorentsfaktoren er bevist med Phytagoras.