Matematik
{JF} - Vinkler og linjer
Kategori: MELLEM
a)
Lad n være et naturligt tal. Find det mindste positive tal m således at
cos(v1) + cos(v2) + ... + cos(vn) ikke er større end m, og
tan(v1) + tan(v2) + ... + tan(vn) = 2n/2 for alle vi ∈ (0,π/2), i = 1, 2, ... , n.
b)
I et regulært koordinat er der en sekvens af punkter {An} på den positive del af y-aksen og en sekvens af punkter {Bn} på kurven y = √(2x), hvor x ≥ 0. Det er velkendt, at O betegner nulpunktet (0,0).
Det vides, at |OAn| = |OBn| = 1 / n.
Linjen AnBn skærer x-aksen i an og x-koordinaten i punkt Bn er bn , n∈N. Vis nu 1) og 2).
1) an > an+1 > 4
2) ∃n0∈N : ∀n > n0 , b2/b1 + b3/b2 + ... + bn/bn-1 + bn+1/bn < n - 2004.
Svar #4
19. januar 2010 af Fourier (Slettet)
a)
Når n = 1, cos(v1) = (1 + tan2(v1))-0,5 = √3 / 3. m = √3 / 3.
Når n = 2 kan vi vise, at
cos(v1) + cos(v2) ≤ 2√3 / 3, og når v1 = v2 = arctan√2 er ligheden gyldig. Faktisk er udtrykket ækvivalent med
cos2(v1) + cos2(v2) + 2cos(v1) · cos(v2) ≤ 3/4, som er
(1 + tan2(v1))-1 + (1+tan2(v2))-1 + 2√ [(1+tan2v1)-1 (1+tan2(v2)-1 ] ≤ 3/4.
Da tan(v1) · tan(v2) = 2, har vi, at udtrykket er ækvivalent med
(2+tan2v1 + tan2v2) / (5+tan2v1 + tan2v2) + 2 (5+tan2v1 + tan2v2)-0,5 ≤ 3/4
På snedig vis lader vi x = tan2v1 + tan2v2 , og vi får at udtrykket er ækvivalent med
2(5+x)-0,5 ≤ (14+x) / (15+3x)
36(5+x) ≤ 196 + 28x + x2 som er åbenlyst ækvivalent med
x - 8x + 16 = (x - 4)2 ≥ 0.
Da er m = 2√3 / 3.
Når n≥3, kan vi uden tab af generalitet antage v1 ≥ v2 ≥ ... ≥ vn.
Da er tanv1 · tanv2 ·tanv3 ≥ 2√2.
Da cosvi = (1-sin2vi)0,5 < 1 - 0,5 · sin2vi, så
cosv2 + cosv3 < 2 - 0,5·(sin2v2 + sin2v3) < 2 - sinv2 · sinv3.
Da tan2v1 ≥ 8 / (tan2v2 · tan2v3), har vi
cos-2(v1) ≥ (8 + tan2v2 ·tan2v3) / (tan2v2 · tan2v3)
cosv1 ≤ tanv2 · tanv3 / (8 + tan2v2 ·tan2v3)0,5 = sinv2 ·sinv3 / (8cos2v2 · cos2v3 + sin2v2 · sin2v3)0,5
Da cosv2 + cosv3 + cosv1 < 2 - sinv2 · sinv3 [1 - (8cos2v2 · cos2v3 + sin2v2 ·sin2v3)-0,5].
Bemærk at 8cos2v2 · cos2v3 + sin2v2 ·sin2v3 ≥ 1 ⇔ 8 + tan2v2 · tan2v3 ≥ (cosv2 ·cosv3)-2
= (1 + tan2v2)(1 + tan2v3) ⇔ tan2v2 + tan2v3 ≤ 7.
Udsagnet er gyldigt, hvis cosv1 + cosv2 + cosv3 < 2.
Hvis udsagnet ikke holder, så er tan2v2 + tan2v3 > 7.
tan2v1 ≥ tan2v2 > 7 / 2, så cosv1 ≤ cosv2 < (1 + 7/2)-0,5 = √2 / 3
Da er cosv1 + cosv2 +cosv3 < 2√2 / 3 + 1 < 2, og det ønskede holder.
cosv1 + cosv2 + ... + cosvn < n - 1. Hvis vi tager v2 = v3 = ... = vn = r > 0, og r går mod 0.
Da er v1 = arctan(2n/2) / tann-1(r) , hvoraf vi ser, at r → π/2,
cosv1 + ... + cosvn → n-1.
Dermed har vi, at m = n-1.
Svar #5
19. januar 2010 af Fourier (Slettet)
Jeg kan ikke huske, hvordan jeg løste b) i sin tid. Erik var tæt på at løse den...
Opgaven under "Algebra vol. 2" kan i øvrigt løses på en mere elegant måde. Den alternative løsning kan man se her.
https://www.studieportalen.dk/Forums/Thread.aspx?id=739839
Skriv et svar til: {JF} - Vinkler og linjer
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.