y''+k^2y=0 - Svært!

Gæt y = -e^-kx

Det er en partikulær løsning, jeg har skrevet, den fuldstændige løsning afhænger af randbetingelserne

Jeg er helt blank :-S

Nå givet ligningen y'' + ay' +by = 0 finder du rødderne til den karakteristiske ligning λ²+aλ+b=0, gør lige det først, du kan se, at b er 0 og a svarer til k²

Jeg skal finde dne fuldstændige løsning til

(1) y''+k²y=0, hvor k>0 er en konstant

Ved at gøre prøve/gæt whatsoever har vi at (1) har løsningerne cos(kx) og sin(kx). af wornski determinanten har vi at

W(sin(kx), cos(kx)) =-ksin²kx-kcos²kx=-k≠0

den fuldstændige løsning er altså

y=c₁sinkx+c₂coskx

men hvor i alverdenen kommer coskx og sinkx fra!? Hvordan kan man ved prøve bare konstatere at (1) har løsningerne coskx og sinkx??

jeg har altså ikke tid lige nu, når du spørger som så meget

#5 der må stå i din bog at løsningsrummet til en andengradsdifferentialligning er to dimensionalt, dvs. samtlige løsninger til en sådan kan skrives som en linear kombination af to lineært uafhængige løsninger, hvilket cos og sin er ...

At man kommer frem til coskx og sinkx ligger i at e^ikx og e^-ikx  (åbenlyst) er (lineært uafhængige) løsninger til ligningen ... som giver mening hvis du kender til komplekse tal ... det ved jeg ikke om du gør :/

Tror jeg kommer til at ødelæggemin SRP :-S Det gik ellers så godt indtil nu! :-(

Det er jo ALT for lidt bare at skkrive #5 som min løsning? :-s Dete r jo trods alt en srp :-( har sgu ramt muren...

#8 da du kender til Wronski determinanten må du have en sætning som siger noget i stil med

Er y₁ og y₂ løsninger til y''+p(x)y'+q(x)y=0 så er enten

(1) Hvis W(y₁,y₂)=0 er y₁ og y₂ lineært afhængige

(2) Hvis W(y₁,y₂)≠0 er y₁ og y₂ lineært uafhængige

og i tilfælde (2) er y(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x) den fuldstændige løsning.

I #5 viser du at med y₁=coskx og y₂=sinkx opfyldes betingelse (2) og har dermed løsningen du selv skriver ...

Wronski-determinanten gjorde jeg rede for i starten af opgaven under afsnittet linearkombination.

Men det undrer mig bare besvarelsen bliver SÅ kort :-S

#10 jamen det er fordi ligningen er yderst simpel, når du har sat "mekanismen op" :-)

Ok, så er det bare med at regne videre, Tusind tak Dynin! igen igen! :-)

ku du være interesseret i at læse den når jeg er færdig?

#13 ja det kunne jeg da godt :-) Jeg pm'er dig lige min mail ...