Matematik

Kan man det?

31. januar 2005 af Peter H (Slettet)

Har fået følgende opgave:

"En funktion er givet ved f(x) = 1/(x^2+1)

For et vilkårligt x lader vi punktet P være givet som (x,f(x)). Lad t betegne tangenten i punktet P, og lad n være normalen i punktet P. Ved normalen forståes her linjen der er vinkelret på tangenten. Normalen skærer x-aksen i punktet Q, og med R betegner vi punktet (x,0). Med d betegner vi nu afstanden fra Q til R. Forskellige valg af x giver naturligvis forskellige værdier for d, så d er funktion af x.

Bestem den værdi for x, hvor d(x) er størst".

Jeg har så "oversat" opgaven og får den til at se sådan her ud:

http://img12.exs.cx/my.php?loc=img12&image=mat7st.jpg

Hvis man så kigger på trekant PQR som jeg har tegnet, så afhænger d (eller |QR| for den sags skyld) i trekanten af vinkel P i, hvilket afhænger af hældningen af tangenten i P. Altså, kan man derfor så sige at jo større hældningen er for tangenten i P, jo større er d? (|QR|).

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. januar 2005 af sigmund (Slettet)

Du må huske, at punktet R også rykker med, hvis du rykker på tangenten. Mht. tangentens hældning, så kan du sige, at jo numerisk større hældningen på tangenten er, desto større er d.

Brugbart svar (0)

Svar #2
31. januar 2005 af Rubberduck (Slettet)

Det kan du godt sige, jeg vil mene det er underordnet at R også rykker med. Da det stadigvæk vil være tangentens hældning som stykket |QR| er afhængig af. Så uanset hvor R er placeret på X-aksen vil stykket |QR| være længst der hvor tangenten næsten er lodret dvs.
tan: X = R - 0

Og -0 læses som en uendelig lille størrelse. =)

Brugbart svar (0)

Svar #3
01. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

Peter H:

Du skal arbejde hen imod et algebraisk udtryk for d(x). Bemærk, at da f er en lige funktion;

f(x) = f(-x)

vil der være 2 værdier af x, som maksimerer d (d er tydeligvis minimal i x = 0), idet det oplyses, at der er et maksimum for d. Det er derfor lidt misvisende, at der spørges til dén værdi af x, som maksimerer d.

//Singularity

Svar #4
01. februar 2005 af Peter H (Slettet)

#3, Jepper har jeg bemærket.

Jeg har løst opgaven på den måde at jeg har differentieret funktionen for finde ud af hvordan hældningen for funktionen forløber. Denne funktion differentierer jeg så igen for at finde ud af hvor toppunkterne er, og denne sætter jeg lig med nul og finder ud af at d(x) er størst når x = 0,57 v x =-0,57.

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Jeg håber sandelig ikke, at du har differentieret funktionen

f(x) = 1/(x^2+1)

to gange, og så bestemt maksimum. For så let er opgaven ikke. Jeg har ikke fået de samme x-værdier, som du skriver i #4. Din forklaring kræver vist en nærmere redegørelse.

//Singularity

Svar #6
01. februar 2005 af Peter H (Slettet)

#5, hvorfor kan man ikke det? Altså hvis man differentiere f(x) får man grafen for "hældningen" af f(x), right? Og vi blev enige om at d(x) var størst når hældningen af f(x) (eller tangenten i f(x)) er numerisk største. For så at finde ud af hvornår f'(x) (hældningen) er størst, så differentierer jeg f'(x). f'(x) må vel være størst (eller mindst) når f''(x) = 0.

Men hvad har du da fået, og hvad har du gjort?

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#6: Så vidt jeg kan se, overser #1 og #2 en detalje: at d også afhænger af f(x), som er afstanden fra normalens skæringspunkt med grafen for f og lodret ned til x-aksen. Dette får betydning for beliggenheden af punktet Q.

Jeg har fundet maksimumsstederne til:

x = +/- 1/sqrt(5) = +/- 0.447213...

Her er et par vink. Vi nøjes med at se på tilfældet, at R er placeret til højre for Q - det er tilstrækkeligt på grund af symmetrien, jf. #3.

1) Hvis (x0,f(x0)) er et vilkårligt punkt på grafen for f, så er

d(x0) = x0-x1

hvor x1 er førstekoordinaten til Q. Bestem et udtryk for x1. Husk, at produktet af hældningskoefficienterne for normalen hhv. tangenten er -1.

2) Du skulle gerne få, at

d(x0) = 2*x0/(x0+1)^3

Herfra er resten blot sædvanlig differentiation og ekstremumsbestemmelse.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #8
01. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#7: Korrektion:

For x0 > 0 er (x0,f(x0)) et punkt på grafen for f. Vi ser kun på tilfældet, at R er placeret til højre for Q.

//Singularity

Svar #9
01. februar 2005 af Peter H (Slettet)

#7, tjaa går ud fra at du har ret som altid :P

Men når jeg skal bestemme udtrykket for x1 løber jeg ind i et problem. f'(x) må jo være hældningen for t, og så må y = -1/f'(x), hvor y så er hældningen for normalen right? Når jeg så skal finde ligningen for normalen, er der et problem. Når jeg sætter den i den formel vi har lært (y = f'(x)(x-x1)+f(x)), hvad skal jeg så indsætte som x1? Jeg kan jo ikke sætte x ind for så giver det jo bare nul i den parantes?

Brugbart svar (0)

Svar #10
01. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Det må du sandelig heller ikke gøre, thi i den ligning er x en variabel, mens x1 er en konstant.

Tankegangen er ellers helt korrekt. En ligning for normalen i (x0,f(x0)) er

y = f'(x0)x + b

Så

b = f(x0) - f'(x0)*x0

idet punktet (x0,f(x0)) ligger på normalen. Derefter bestemmes x-koordinaten til punktet Q, hvori normalen skærer x-aksen. Du skulle gerne ende op med x-koordinaten

x = x0 - 2x0/((x0)^2 + 1)^3

Gør du det?

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #11
01. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Ej, helt ærligt. Nu må jeg vist lige tage mig sammen :-)

En ligning for normalen er naturligvis

y = (-1/f'(x0))*x + b

så

b = f(x0) - (-1/f'(x0))*x0

idet punktet (x0,f(x0)) ligger på normalen. Beklager fejlen.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #12
01. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Hvis du er kørt helt død i opgaven, så spørg igen. Vi er her for det samme :-)

//Singularity

Svar #13
01. februar 2005 af Peter H (Slettet)

ehh... må sgu sige jeg er lidt lost pt... i #11, kan man så godt bare skifte y ud med f(x)? Altså f(x) som i 1/(x^2+1)?

I så fald får jeg n's ligning til at være:

n(x) = (-x/f'(x))+(f(x)+x/f'(x))

og når jeg så sætter værdierne ind for f'(x) og f(x) og reducerer det lidt får jeg n(x) = 1/(x^2+1) :/

Brugbart svar (0)

Svar #14
01. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#13: For at gøre det lidt mere overskueligt, skriver jeg x0^2 i stedet for (x0)^2.

Vi går lidt videre. Lad (x0,f(x0)), x0 > 0, være et punkt på grafen for f. Så har vi, at

f'(x0) = -2x0/(x0^2 + 1)^2

og dermed, at

-1/f'(x0) = (x0^2 + 1)^2 / (2x0) (1)

Dermed har vi ifølge #11, at

b = f(x0) - ((x0^2 + 1)^2 / (2x0))*x0 = 1/(x0^2 + 1) - (x0^2 + 1)^2 / 2 = (2-(x0^2 + 1)^3)/(2(x0^2 + 1)) (2)

Ved sidste lighed sættes på fælles brøkstreg. Dernæst udnytter vi, at normalen skærer x-aksen, når y = 0. Det giver med (1) og (2) ligningen

0 = ((x0^2 + 1)^2 / (2x0))*x + (2-(x0^2 + 1)^3)/(2(x0^2 + 1))

og dermed fås

x = ((x0^2 + 1)^3 - 2)/(2(x0^2 + 1)) / ((x0^2 + 1)^2 / (2x0)) = x0((x0^2 + 1)^3 - 2)/(x0^2 + 1)^3 = x0 - 2x0/(x0^2 + 1)^3

Så x-koordinaten til skæringspunktet Q mellem normalen og x-aksen er

x0 - 2x0/(x0^2 + 1)^3

forudsat at jeg ikke har lavet fejl undervejs. Efterhånden er jeg dog ret sikker på, at det er korrekt :)

Det var det trælse arbejde :-) Nu kan du fortsætte med at bestemme d(x0).

//Singularity

Svar #15
02. februar 2005 af Peter H (Slettet)

Argh nu går det da helt galt. Jeg troede lige at jeg var færdig med opgaven (løste det via derive - et matematik program), og da jeg så lige ville tegne "grafen" viste det sig at der på nogle steder var 3 forskellige funktionsværdier til én x-værdi :/

Nå, men jeg kan til dels følge dig i #14 når du finder x for normalens ligning. Hvordan bliver (2-(x0^2 + 1)^3) lige pludselig til ((x0^2 + 1)^3 - 2)? Det "eneste" der bliver rykket er 2 tallet, men har det da ikke også en indflydelse? Desuden forstår jeg heller ikke helt hvad du gør herfra:

x = ((x0^2 + 1)^3 - 2)/(2(x0^2 + 1)) / ((x0^2 + 1)^2 / (2x0))

Og så hertil:

= x0((x0^2 + 1)^3 - 2)/(x0^2 + 1)^3 = x0 - 2x0/(x0^2 + 1)^3

Brugbart svar (0)

Svar #16
02. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#15:

"Hvordan bliver (2-(x0^2 + 1)^3) lige pludselig til ((x0^2 + 1)^3 - 2)?"

Det er såmænd et simpelt fortegnsskift i tælleren. Vi har i udregningen lige før, at

0 = ((x0^2 + 1)^2 / (2x0))*x + (2-(x0^2 + 1)^3)/(2(x0^2 + 1))

og dermed fås

x = -(2-(x0^2 + 1)^3)/(2(x0^2 + 1)) / ((x0^2 + 1)^2 / (2x0))

Jeg skifter blot fortegn;

-(2-(x0^2 + 1)^3) = ((x0^2 + 1)^3 - 2)

og mere hokus-pokus er der sådan set ikke i det :-)

"Desuden forstår jeg heller ikke helt hvad du gør herfra:

x = ((x0^2 + 1)^3 - 2)/(2(x0^2 + 1)) / ((x0^2 + 1)^2 / (2x0))

Og så hertil:

= x0((x0^2 + 1)^3 - 2)/(x0^2 + 1)^3 = x0 - 2x0/(x0^2 + 1)^3"

Du kan se, at såvel

((x0^2 + 1)^3 - 2)/(2(x0^2 + 1))

som

((x0^2 + 1)^2 / (2x0))

indeholder en faktor 2 i nævneren. Denne bortforkortes. Tilbage står så

((x0^2 + 1)^3 - 2)/((x0^2 + 1)) / ((x0^2 + 1)^2 / (x0)

Division af en brøk med en brøk svarer til at multiplicere med den reciprokke, altså fås

(x0)*((x0^2 + 1)^3 - 2) / ((x0^2 + 1)*(x0^2 + 1)^2)

og herefter divideres nævneren

((x0^2 + 1)*(x0^2 + 1)^2) = (x0^2 + 1)^3

op i tællerens led, hvilket giver

x0 - 2x0/((x0^2 + 1)^3)

som er sidste resultat i #14. Er du med på det nu? Jeg medgiver gerne, at det ikke er specielt kønt og langtfra overskueligt med så mange udregninger :-)

//Singularity

Svar #17
03. februar 2005 af Peter H (Slettet)

Jaahh... jeg tror ikke jeg har gjort det på helt samme måde, men jeg er da kommet frem til det samme resultat som dig nu. Jeg har isoleret "x-x0" i normalens ligning som hedder y = -1/f'(x)(x-x0)+f(x). dvs x - x0 = -f(x)/(-1/f'(x)). Og eftersom at x - x0 jo er d, så må dette vel kunne bruges til at udregne maximums værdierne? Jeg har i hvert også fået +/- 0,44....

Brugbart svar (0)

Svar #18
03. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#17: Jo, det er faktisk korrekt, thi så har vi, at

0 = f(x0) - 1/f'(x0)*(x-x0)

hvoraf

x - x0 = f(x0)*f'(x0) = 1/(x0^2 + 1)*(-2x0/(x0^2 + 1)^2) = -2x0/(x0^2 + 1)^3

så

x = x0 - 2x0/(x0^2 + 1)^3

som jeg også fik ovenfor, ad mere kringlede udregninger :-)

De eksakte maksimumssteder findes at være

+/- 1/sqrt(5) = +/- 0.447213....

så vi er enige.

//Singularity

Svar #19
03. februar 2005 af Peter H (Slettet)

Nu mangler jeg så bare én ting... at få differentieret 2x0/(x0^2 + 1)^3, således at jeg kan sætte det lig med nul og finde ekstremumspunkterne... Jeg får d'(x0) til at være:

(2*(x^2+1)^3-2x*(3(x^2+1)^2))/(x^2+1)^6

Men jeg kan ikke helt reducere det, således at jeg kan sætte det lig nul :/

Brugbart svar (0)

Svar #20
03. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#19: Pas på. Andet led i tælleren er ikke korrekt. Du glemmer at differentiere den indre funktion i den sammensatte funktion

(x^2 + 1)^3

Det giver 3(x^2 + 1)*(2x) = 6x(x^2 + 1)

så dette må være korrekt;

(2*(x^2+1)^3-2x*(6x(x^2+1)^2))/(x^2+1)^6

Forkort nu med faktoren (x^2 + 1)^2. Så er den afledede af d(x);

d'(x) = (2*(x^2 + 1) - 12x^2)/(x^2 + 1)^4 = (2 - 10x^2)/(x^2 + 1)^4

og den volder ingen problemer, når man skal bestemme ekstrema.

//Singularity

Skriv et svar til: Kan man det?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.