Bestem sandsynlighedstæthed for Z=X-Y

Vi ved

X og Y er uafhængige og X ~ exp(λ), Y~ exp(λ).

Vi ved yderligere at den stokastiske variabel V = -Y har tætheden

p(v) = λe^λv , v∈(-∞,0)

p(v)= 0 , v∉(-∞,0)
 

Vis, at sandsynlighedstætheden for den stokastiske variabel Z = X - Y er

q(z) = (1/2) λ e^{- λ |z|}

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mit eget forslag til løsning slår fejl da jeg ikke får det "numeriske tegn" med i resultatet:

Vi ser at Z = X - Y = X + V. 

Hvis vi lader _-∞∫^∞ betegne integralet fra minus uendeligt til uendeligt og f den til X hørende tæthed, da er sandsynlighedstætheden q for Z givet ved

q(z) = _-∞∫^∞f(x) p(z-x) dx

        = _-∞∫^∞ λ e^-λx 1_(0,∞)(x)  λe^λ(z-x) 1_(-∞,0)(z-x) dx

        = _-∞∫^∞ λ e^-λx 1_(0,∞)(x) λe^λ(z-x) 1_(z,∞)(x) dx       , z∈(0,x)

        = _z∫^∞ λ e^-λx λe^λ(z-x) dx

        = (λ e^λz /2) _z∫^∞ 2λ e^-2λx dx

        =(λ e^λz /2) [-e^-2λx]_z^∞

        =λ e^-λz /2

Det ligner jo meget det vi skulle vise, men hvordan får jeg |z| til at stå i potensen så resultatet bliver korrekt? Det ville være fedt hvis der var nogen som kunne fortælle hvad der går galt.