Matematik
Optimering - fabrik - hjælp?
Hej!! Håber nogen er gode optimering, for jeg sidder fat i denne opgave.. jeg har lavet a'eren- men kan simpelthen ikk komme videre.. Nogen der kan hjælpe??
Optimering
På en fabrik skal man fremstille en beholder til ætsende kemikalier. Den skal rummer 32 m^3. Beholderen skal have form som en kasse uden låg, og bunden skal være kvadratisk (figur). Arealet af beholderens indre overflade bliver da 4*h*x+x^2, hvor x angiver sidelængden i den kvadratiske bund, og h angiver kassens højde, begge målt i meter. Endvidere må der gælde, at h*x^2 = 32.
a) Gør rede for, at arealet af beholderens indre overflade (målt i m^2) som funktion af x er bestemt ved f(x) = 128/x + x^2
Jeg er ikke sikker men jeg har gjort følgende: 4*h*x+x^2 = 4*32/x + x^2 = 128 /x +x^2
b) Overfladebehandlingen af beholderens indre er meget dyr. Bestem x, så arealet af beholderens indre overflade bliver mindst muligt.
Jeg ved ikke helt hvad jeg skal. Ville gætte på et skema hvor man kan se hvilken er mindst?
c) Betragt en cylinderformet beholder med en grundfladeradius, som er halvdelen af den optimale sidelængde (fundet i b). Antag, at den er med bund uden låg og skal kunne rumme 31 m^3. Prisen pr. m^2 for overfladebehandling af denne beholders indre er den samme som for den kasseformede beholder. Er den optimale kasseformede beholder (fundet i b) eller den nævnte cylinderformede beholder billigst at overfladebehandle?
Efter nogen tid sker der det, at flere aftagere af den kasseformede beholder melder tilbage, at de af sikkerhedshensyn ønsker beholdere med låg. Beholderen skal ellers være som før, dvs. kasseformet, have et rumfang på 32m^3, med kvadratisk bund med sidelængde x osv. Da låget kun skal kunne tåle stænk fra de ætsende kemikalier, kun halvdelen af kvadratmeterprisen for den dyre overfladebehandling af de resterende sider.
d) Opskriv forskriften for en funktion g, der udtrykker omkostningerne ved at overfladebehandle den nye beholders indre, som funktion af x.
e) Bestem x, så udgiften til overfladebehandling af den nye beholders indre bliver mindst mulig.
Svar #1
03. februar 2010 af sigmund (Slettet)
a) Du har h = 32/x2.
b) Løs ligningen f'(x) = 0.
c) Er overfladen af cylinder større eller mindre en overfladen af kassen? Overfladen af en cylinder er givet ved 2π*r*h. I denne her opgave er r = x/2 (hvor x er den optimale sidelængde fra b) og der gælder, at h*π*r2 = 31. Hvad er så ovefladen som funktion af x?
d) Den samlede udgift er U(x) = U1*f(x) + (U1/2)*x2 = 128U1/x + 128x2 + (U1/2)x2 = 128U1/x + 128.5*U1*x2.
e) Løs ligningen U'(x) = 0.
Svar #3
03. februar 2010 af blondie07 (Slettet)
Så har jeg fundet x, men forstår ikke hvad du har skrevet i de sidste opgaver c+d+e??
f'(x)= 2*x-128/x^2
2*x-128/x^2 = 0
solve på lommeregner -->
x = 4
så har jeg ikk forstået hvad du har skrevet i resten??
Mange tak for hjælpen indtil da:D
Svar #4
03. februar 2010 af sigmund (Slettet)
Crap! Så prøver jeg igen!
c) Du har fundet x = 4. Det er den optimale sidelængde. Radius i cylinderen er halvdelen af dette, dvs. r = 2. Overfladen af en cylinder er givet ved O = 2π*r*h = 4π*h. Vi kender ikke h, men vi kan finde den ud fra formlen for volumen af en cylinder: V = π*r2*h = π*22*h = 4π*h <=> 31 = 4π*h <=> h = 31/(4π). Det giver overfladearealet O = 4π*31/(4π) = 31. Er dette tal mindre eller større end overfladen af kassen i b)? Er det mindre, så er cylinderen billigere at behandle end kassen, ellers er den dyrere.
d) Kald kvadratmeterprisen for U1. Så er udgiften til behandling af kassen lig U1*f(x). Kvadratmeterprisen for låget er kun halvdelen af prisen for den resterende kasse, dvs. at udgiften til behandling af låget er (U1/2)*x2. Det giver den samlede udgift U = U1*f(x) + (U1/2)*x2 for overfladebehandling af den nye kasse.
e) Du skal nu bestemme x således at udgiften til overfladebehandlingen bliver mindst mulig. Dvs. at du skal minimere funktionen U(x). Dette gøres ved at løse ligningen U'(x) = 0. Det giver dig den ønskede x.
Håber du er bedre med nu. Eller må jeg prøve for 3. gang. :)
Svar #6
03. februar 2010 af blondie07 (Slettet)
skriver det kort ret mig hvis jeg har forstået det forkert??
c) o= 4TT*31/(4TT)=31
ved ikke helt hvad jeg skal her, måske du kunne forklare mig det en sidste gang?? ved ikke hvad jeg skal gøre.. har regnet ligningen på lommeregnere og den siger true..?
d) g(x)= U1*f(x)+(U1/2)*x^2 - sådan det skal skrives??
e) jeg kan ikke få den afledede funktion af den funktion ovenover?? Er ikke sikker på hav jeg skal?? Er du sikker på at den skal hedde det i d'eren??
Håber ikk at du bliver sur over det en sidste gang???
Svar #7
03. februar 2010 af sigmund (Slettet)
Hehe... nej, ikke sur. :)
c) 31 kvadratmeter er overfladen af cylinderen. Hvad er overfladen af cylinderen, når du sætter 4 ind for x i udtrykket fra a)?
d) Ja, jeg er sikker på, at det er rigtigt. g(x) = U1*f(x) + (U1/2)*x^2. Sæt så f(x) fra a) ind og du får g(x) = U1*128/x + U1*x^2 + (U1/2)*x^2 = U1*128/x + 1,5*U1*x^2.
e) g(x) differentieres. Det giver g'(x) = 3*U1*x - U1*128/x^2.
Svar #8
09. februar 2010 af blondie07 (Slettet)
Kan simpelthen ikk få det til at hænge sammen.. Kan du forklare det med alle regneudtryk- er bare så forvirret og kan slet ikke finde ud af det mere;(
Skriv et svar til: Optimering - fabrik - hjælp?
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.