komplekse tal & andengradsligning

1) Løsningerne er givet ved

hvor r = √(5² + 12²) = 13, v = tan^-1(12/5) og p ∈ {0,1}.

2) Samme som ovenfor, men nu med r = 1 og v = ln(16)·π.

3) Løses som en "normal" andengradsligning.

jeg har skrevet dette til din indbakke:

hej . undskyld jeg forstyrre. jeg er rimelig stresset fordi jeg skal aflever en sso imorgen. og de tre spørgsmål som du lige har svaret på skal du ha tak for. men det ku virkelig være rart hvis du ku vise mig de to andre lidt mere detaljeret. og hvis du har en msn ku det være perfekt.

har du fået det ?

håber virkelig du kan hjælpe

Den første ligning løses nok simplest ved at gøre brug af fremstillingen af komplekse tal på den polære form:

z = a e^iφ = a (cosφ + i sinφ) , hvor a ≥ 0, og 0 ≤ φ < 2π . Bemærk, at z og -z = a e^iφ+iπ  har samme kvadrat

z² = a² e^2iφ

Lad os nu prøve at skrive højresiden 5+12i på samme polære form. Bemærk først, at |5+12i| = 13, da 5²+12² = 13², så

5+12i = 13 (5/13 + 12/13 i) = b (cosθ + i sinθ), hvor b = 13, og cosθ = 5/13, og sinθ = 12/13 . Nu har vi så

a² e^2iφ = b e^iθ , hvoraf

a² = b og (2φ = θ eller 2φ+2π = θ), og dermed

a = √b = √13 , og (φ = θ/2 eller φ = θ/2 + π). Nu finder vi

sinφ = sin(θ/2) = √((1-cosθ)/2) = 2/√13, og

cosφ = cos(θ/2) = √((1+cosθ)/2) = 3/√13 .

Dermed finder vi løsningen

z = ± a (cosφ + i sinφ) = ± √13 • (3/√13 + i 2/√13) = ± (3 + 2i), altså z = 3+2i, eller z = -3-2i .

Prøv nu at løse den anden ligning på samme måde.

I den anden ligning har du allerede skrevet højresiden på formen b e^iθ , hvor b = 1 og θ = ln16, så her får du

a = 1, og (2φ = ln16 eller 2φ+2π = ln16) . Den fuldstændige løsning er da

z = ±(cos((ln16)/2) + i sin((ln16)/2))

Den tredje ligning kan med lidt fiksfakserier omskrives til

(z +1/4 + 5/4 i)² = 2 - i•63/8

Vi kan så bruge samme fremgangsmåde som før til at finde

(z +1/4 + 5/4 i)  som den komplekse kvadratrod af (2 - i•63/8), og så finder vi til sidst z.

Ja, jeg har fået beskeden.

Hvis jeg skal sige 2) mere detaljeret, så er det, at løsningerne er givet ved

hvor r = 1 og v = ln(16)·π.

3) mere detaljeret er:

a = 2i, b = -(5-i), c = -(17+7i). Det giver diskriminanten

d = b² - 4*a*c = (5-i)² - 4*2i*(-(17+7i)) = (5-i)² + 8i*(17+7i) = 25 - 1 - 10i + 136i - 56 = - 32 + 126i.

I beregningen af løsningerne skal vi bruge kvadratroden af d. For at beregne denne, omskriver vi d til polær form. Vi har r = 130 og v = 1.82. d kan således også skrives som d = 130*e^1.82i. Kvadratroden af dette tal er (√130)*e^0.91i. Vi omskriver nu dette tal til formen a+i*b:

(√130)*cos(0.91) + i*(√130)*sin(0.91) = 7 + 9i.

Således er kvadratroden af d lig med 7 + 9i.

Løsningerne til 2. gradsligningen er så givet ved

Prøv at regne videre selv.