Parallelogram

Lad de to vektorer a og b i planen repræsentere parallelogrammets sider. Parallelogrammets diagonaler er da repræsenteret af de to vektorer a+b og a-b . Dette indses ved at tegne et vektordiagram. Nu kender vi længderne af a+b og a-b og ønsker at finde længderne af a og b særskilt. Vi har nu

|a+b|² = (a+b)•(a+b) = a•a + b•b + 2a•b = |a|² + |b|² + 2a•b , og

|a-b|² = (a-b)•(a-b) = a•a + b•b - 2a•b = |a|² + |b|² - 2a•b .

Heraf fås, ved at addere de to ligninger, at

|a+b|² + |a-b|² = 2|a|² + 2|b|² , og ved at subtrahere dem i stedet, at

|a+b|² - |a-b|² = 4a•b

I dette tilfælde, hvor |a+b| = 8 og |a-b| = 6, fås

a•b = 7 og |a|² + |b|² = 50 . Jeg vender tilbage lidt senere med, hvordan vi finder omkredsen

P = 2|a| + 2|b|

Som opgaven er formuleret, er der ikke noget entydigt svar på omkredsens størrelse P. Ved betragtninger af trekantsuligheder, finder vi

1 ≤ |a| ≤ 7, 1 ≤ |b| ≤ 7, og |a|+|b| ≥ 8, og sammenholdes det med ligningen vi fandt i #1, |a|² + |b|² = 50, finder vi, at der må gælde for omkredsen P af parallelogrammet

16 ≤ P ≤ 20 . Omkredsen er mindst, nemlig 16, når den ene side er 1 og den anden er 7, og den er størst, nemlig 20, når begge sider har længden 5.

Uden yderligere oplysninger kan vi ikke komme det nærmere.