Projiction: linje på plan

skæringspunkt S(33/7, -8/7, -50/7)

punktet Q(1,-3,4) ligger på m

Find Q's projektionspunkt Q_p på planen α.

SQ_p er retningsvektor for m₁.

Tak mathon, det var en tastefejl. Jeg har også fået -8/7

Hvordan laver jeg en projiction af et punkt på en plan?

Jeg ha rkun prøvet punkt på linje.

skæringspunktet mellem planen
og linjen gennem Q med planens normalvektor som retningsvektor er projektionspunktet.

Dit skæringspunkt er næsten korrekt. Det skal være (33/7, -8/7, -50/7) svarende til parameterværdien t = 13/7 for m. Lad os kalde dette skæringspunkt P. Vælg nu en anden parameterværdi, for eksempel t = 2. Til dette svarer punktet Q: (5, -1, -8) på linien m. Vi skal finde projektionen R af punktet Q på planen alfa. Vektoren RQ skal da være parallel med normalvektoren n = (3, -1, 2) til planen alfa, og koordinaterne for punktet R = (x, y, z) skal også opfylde ligningen for planen alfa. Så vi vil finde det tal s, der opfylder

RQ = sn , altså

(5-x, -1-y, -8-z) = s(3, -1, 2) . Heraf fås

x = 5-3s, y = -1+s, z = -8-2s, som vi så indsætter i planens ligning

3(5-3s) - (-1+s) + 2(-8-2s) = 15 - 9s +1 - s -16 - 4s = 1, hvoraf -14s = 1, eller s = -1/14. Punktet R har altså koordinaterne

R: (x, y, z) = (5+3/14, -1-1/14, -8+2/14) = (73/14, -15/14, -55/7).

Nu har vi to punkter for linien m₁, nemlig P og R. En retningsvektor for m₁ er da vektoren PR, og m₁ går gennem P.

OK så. Jeg valgte en anden t-værdi,så jeg lige selv prøvede (: Men tak for svar. Hvordan finde rjeg så vinklem mellem m og m1 nu?

SQ = [1,-3,4] - [33/7, -8/7, -50/7] = [-26/7,-13/7,78/7]
|SQ| = 11,8915
 

SQ_p = [-25/14,-29/14,15/7] - [33/7, -8/7, -50/7] = [-13/2,-13/14,65/7]
|SQ_p| = 11,3726
 

V = cos^-1(|SQ_p|/|SQ|) = cos^-1(11,3726/11,8915) ≈ 17º

Den vinkel φ kan du finde ud fra de to liniers retningsvektorer.

Linien m har retningsvektoren p = (2, 1, -6) (der har længden √(2²+1²+6²) = √41 , og ovenfor fandt vi at PR er en retningsvektor for linien m₁ . Vi finder

cos φ = p•PR / (|p||PR|) . Skalarproduktet af to enhedsvektorer er lig med cosinus til vinklen mellem vektorerne.