Matematik
Cauchy-Schwarz' ulighed
Jeg sidder og kigger lidt i min LA-bog, det meste giver ret godt mening, men jeg har lidt problemer med at forstå, hvordan Cauchy-Schwarz' ulighed bevises. Mere konkret er det starten, der volder mig problemer og netop af samme grund forstår jeg heller ikke, hvorfor det slutteligt kan konkluderes, at uligheden holder.
Vi har Cauchy-Schwarz' ulighed:
For vilkårlige vektorer gælder uligheden:
For at bevise sætningen vælger vi vektorerne og desuden en skalar
. Vi antager desuden, at
, idet beviset tilfældet, hvor det kunne lade sig gøre, ville være trivielt..
Vi udregner nu:
Her er det, at mit problem opstår. Hvorfor vælger vi netop at udregne det udtryk? Det har for mig at se ikke lige umiddelbart noget med uligheden at gøre, men der må være en grund til, hvorfor det falder så logisk netop at beregne det udtryk?
Vi benytter os da af vores regneregler for indre produkter og får:
af den kommutative lov må det endvidere følge, at vi har:
Det ses da tydeligt, at andengradspolynomiet er ikke-negativt. Diskriminanten kan dermed let bestemmes til:
hvoraf vi (åbenbart) kan konkludere, at Cauchy-Schwarz' ulighed fremgår.
Det forstår jeg ikke lige, at vi kan. Men jeg formoder, at det hænger sammen med, at jeg ikke ser det logiske i, at vi vælger det allerførste udtryk at regne på. Er der en, der vil være venlig at prøve at forklare det? :-)
Beviset forsætter i øvrigt med den endelige konklusion, men det er ovenstående, jeg har problemer med at forstå. (PS. Jeg ved ikke, hvorfor TeX'en sætter ud efter \in, men jeg håber og regner med, at I kan forstå det alligevel)
Svar #1
28. februar 2010 af Lukka (Slettet)
Der findes jo flere og ofte mærkelige beviser for den samme sætning. Hvis jeg tolker din notation ret har du sat en lodret streg istedet for (•). De valg der gøres i beviser bygger nogle gange på en nærmest syg idé, men når bare man når i mål er det vel godt nok. Beviset er vel ikke så indviklet og er en variant af andre beviser. Pr definition ved du at 0 ≤ |x|2 , dvs ikke negativt. Da |x|2 er et 2. grads udtryk i λ ved du heraf at der enten ikke er rødder (d<0) eller at der er netop én rod (d=0). Så derfor uligheden 0≥d. Heraf følger beviset da
4(x•y)2 ≤ 4|x|2 |y|2
Svar #2
28. februar 2010 af peter lind
Grunden til valget: Der er en eller anden smart matematiker, der har fundet på at det kan bevises på den måde. Det er heldigvis sådan at alle studerende ikke skal finde på de smarte metoder, som tidligere begavede matematiker har fundet på. Skulle vi det kom vi nok ikke særligt langt.
I det anden problem kan du blot ikke se skoven for masser af træer. Normen er pr. definition ikke negativ. Andengrads polynomiet kan derfor højst have en rod og det sker kun når diskriminanten ikke er positiv
Svar #3
28. februar 2010 af Exupery (Slettet)
Ah, ja. Konklusionen er da evident! Det var dog dumt, at jeg ikke så det. Pinligt.. :( Simpel ligningsløsning...da jeg sådan set havde fuldt styr på, at D aldrig kunne blive positiv.
Jeg vil lige tænke lidt videre over, hvorfor vi vælger at beregne indledningsudtrykket, for måske er det en syg idé, men der må være en mening med galskaben. Og den skal vi jo helst forstå, hvis det hele skal give mening i den sidste ende.
Jeg har sat | i stedet for prikken, idet uligheden generelt gælder for alle indre produkter og ikke kun skalarproduktet, der kun er én form for et indre produkt. Der findes jo uendeligt mange.
Skriv et svar til: Cauchy-Schwarz' ulighed
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.