Kugler der skærer hinanden

Det bliver lidt spredte tanker om problemstillingen.

Hvis du forestiller dig at du skærer en skive (det hedder i dette tilfælde en kuglekalot) af en kugle, så vil der fremkomme en cirkulær flade med en radius, der hvor kalotten mangler, denne cirkulære flades centerpunkt, har en afstand til kuglen centrum, der kan beregnes. Det er den tankegang, du skal have gang i mht. til denne opgave, da det i princippet går ud på (næsten) det samme...
Du er nødt til at bestemme, hvor langt der er fra (den ene) kugles centrum - tag K2 for der kender du centrums koordinater C_K2(2, 4, 0) -  til "snittet". 
For kender du værdien for afstanden, kan du beregne værdien for a, da K1's centrum ligger i C_K1(a, 2a, 0) med afstandsformlen:

Da z-koordinaterne er identiske for begge kugler ser vi bort fra den ved afstandsberegningen, da ligger i samme niveau i forhold til z (med centrum, hvor z = 0)

Håber, dette kan hjælpe dig

Hvor kuglerne skærer hinanden, må begge ligninger for både kugle Ka og kugle K2 være opfyldt:

(x - a)² + (y -2a)² + z² -81 = 0

(x -2)² + (y- 4)² + z² -81 = 0

Bemærk, at det skal være +z² i de to kugleligninger, ikke -z².

Tager vi nu forskellen mellem de to ligninger, får vi

(x - a)² - (x -2)²  + (y -2a)² - (y- 4)² = 0 eller

(2-a)(2x-a-2) + (4-2a)(2y-2a-4) = 0 eller

2(2-a)x + 2(4-2a)y + (a+2)(a-2) + (2a+4)(2a-4) = 0, eller

2(2-a)x + 2(4-2a)y + 5(a² - 4) = 0 eller, hvis a ≠ 2

2x + 4y - 5(a+2) = 0 .

Dette er ligningen for en plan med normalvektor (2, 4, 0)

Skæringen mellem de to kugler kan altså også findes som skæringen mellem denne plan og kuglen K2, og vi har nu vist, at snittet er plant.

Vektoren mellem de to kuglers centre er ( 2-a, 4-2a, 0), som for a ≠ 2 er parallel med (1, 2, 0) . Skæringsplanens normalvektor er altså parallel med linien gennem de to kuglecentre, så denne linie er altså normal til skæringsplanen.

Linien gennem kuglen K2's centrum (2, 4, 0) med retningsvektor (1, 2, 0) har parameterfremstillingen

(x, y, z) = (2, 4, 0) + t(1, 2, 0). Denne skærer skæringsplanen i et punkt med parameterværdien t bestemt ud fra

2(2+t) + 4(4+2t) -5(a+2) = 0 eller 6t +16 = 5a +10, eller t = 5/6 a - 1 . 

Altså skærer kuglernes centerlinie skæringsplanen i punktet

(x, y, z) = (1+5a/6; 2+5a/3; 0). Dette ligger i afstanden d₂ fra kugle K2 og afstanden da fra kugke Ka, bestemt ved

d₂² = (5a/6-1)² + (5a/3-2)² og

d_a² = (1-a/6)² + (2-a/3)²

Vi betragter nu afstanden d fra et punkt på skæringskurven mellem kuglerne til centerliniens skæringspunkt med skæringsplanen. Der må nu gælde

d₂² + d² = 81 og d_a² + d² = 81 , eller

d² = 81 - d₂² = 81 - (5a/6-1)² - (5a/3-2)² = 81 - 5 (5a/6-1)² . For at denne afstand skal være 6, skal der gælde

5 (5a/6-1)² = 81 - 6² = 81 - 36 = 45, dvs

(5a/6-1)² = 45/5 = 9, og dermed

5a/6 - 1 = 3 eller 5a/6 - 1 = -3, dvs

a = 24/5 eller a = -12/5