Matematik

opgave som jeg næsten har lavet!!

18. februar 2005 af Liv2004 (Slettet)

En ret linie l har parameterfremstillingen:

Vektor OPt = (x,y) = (3,1) + t(2,1) hvor t er alle reale tal.

Og et punkt Q har koordinatsæt (3,9)

a)Bestem koordinatsættet for vektoren QPt
b)Bestem mindsteværdien m af funktionen f(t) = l vektor QPt l ^2
c)Hvilken geometrisk betydning har tallet kvadratrod af m

min løsning:

Af parameterfremstillingen kan vi se at (x,y) = (3,1). Endividere ser vi at v = (2,1) er en retningsvektor for linien. Som normalvektor kan vi så bruge n = vektor v hat = (-1, 2)

Vha ligningen a(x-xo)+b(y-yo)=0 kan vi bestemme ligningen for l:
-1(x-3)+2(y-1)=0
-x+4+2y-2=0
-x+2y+2=0

a)
vektor QPt = ( P1-Q1 , P2-Q2)

Q(3,9) og P(3,1)

vektor QPt = (3-3 , 1-9) = (0 , -8)

b)
er ikke sikker på hvad jeg skal

f(t) = l vektor QPt l ^2

jeg kan godt finde l vektor QPt l ^2 :

l kvadratrod af (0^2 + 8^2)^2 <=>
64

så skal der vel står:

f(t)=64

hvordan skal jeg så finde mindste værdien?

c)?

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

Liv:

a) Du overser helt, at QPt afhænger af parameteren t. Brug indskudsreglen for vektorer i planen til at få

OPt = OQ + QPt <=> QPt = OPt + (-OQ) = OPt - OQ

Idet

OPt = (3,1) + t(2,1)
OQ = (3,9)

finder vi, at

QPt = (3,1) + t(2,1) - (3,9) = (0,-8) + t(2,1) = (2t,t-8)

Dette er koordinatsættet til vektor QPt for ethvert t E R.

Fortsæt selv herfra med b) og c).

//Singularity

Svar #2
18. februar 2005 af Liv2004 (Slettet)

hvis koordinatsættet til QPt er(2t,t-8) skal jeg så bare isolere t i b).

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#2: Nej, du skal minimere funktionen

f(t) = |QPt|^2 = (2t)^2 + (t-8)^2

hvilket konkret betyder, at du skal bestemme mindsteværdien m af f. Det står jo i opgaveteksten, b).

//Singularity

Svar #4
18. februar 2005 af Liv2004 (Slettet)

f(t)=|QPt|^2 = (2t)^2 + (t-8)^2 <=>
f(t)=(2t)*(2t)+(t-8)*(t-8) <=>
f(t)=4t^2 + t^2 -8t -8t + 64 <=>
f(t)=5t^2 – 16t + 64

vil det så sige at længden |QPt|^2 = 5t^2 – 16t + 64

Jeg ved at det måske bare er mig som ikke helt forstår denne her opgave men jeg ved ikke hvad mindsteværdien betyder:

skal man måske differentiere f(t)

f`(t) = 10t - 16

Brugbart svar (0)

Svar #5
18. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Ja - lige præcis. Det er korrekt.

Så bør du argumentere for, at nulpunktet for f'(t) er et minimumssted for f(t). Dertil bruger du blot fortegnsvariationen for f'(t). Lav eventuelt en fortegnslinie.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #6
19. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Er man lidt mere mageligt anlagt, kunne man ræssonere, at eftersom grafen for f er en parabel med opadrettede grene (koefficienten til kvadratleddet er positiv), vil der være tale om et globalt minimum i toppunktet.

Det argument vil formentlig også blive accepteret. Personligt foretrækker jeg dog, at man holder sig til teorien for differentialregning.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #7
19. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#6: Og så skal jeg vist lige stave ordentligt;

ræssonere -> ræsonnere :-)

//Singularity

Skriv et svar til: opgave som jeg næsten har lavet!!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.