at bevise de følgende formler

Benyt den velkendte formel a² - b² = (a+b)(a-b):

cosh²x - sinh²x = (e^x+e^-x)²/4 - (e^x-e^-x)²/4

     = (e^x+e^-x+e^x-e^-x)(e^x+e^-x-e^x+e^-x)/4

    = (2e^x)(2e^-x)/4 = 1

d/dx(coshx = d/dx(e^x+e^-x)/2 = (e^x-e^-x)/2 = sinhx

cosh2x - sinh2x = 1

[(e^x+e^-x) / (2)]² -[ (e^x-e^-x) / (2)]² =

[e^2x+e^-2x+2e^x*e^-x-(e2^x+e^-2x-2e^x*e^-x)]/4 =          de sorte led går ud mod hinanden

[2e^(x-x)-(-2e^(x-x))]/4 =

[2e⁰+2e⁰]/4 =4/4 = 1

se

Jeg kender ikke til cosh eller sinh, men eg har lige prøvet at bevise det, og tror måske at jeg har bevist det, for jeg får det også til 1.

(a+b)²= a²+b²+2*a*b

(a-b)²=a²+b²-2*a*b

Disse regler kan du bruge til at beregne cosh²x og sinh²x.

cosh²x= ( e^2x+ 1/e^2x + 2* e^2x*1/e^2x)/4

sinh²x=( e²x+ 1/e^2x - 2* e^2x*1/e^2x)/4
 

Når du reducerer og trækker dem fra hinanden, vil det til sidst give

(e^2x+ 1/ e^2x + 1 - e^2x -  1 / e^2x+1 )/2 = 2/2= 1

Det er lidt svært at forklare et bevis her, men jeg håber du kan bruge det til noget..

jeg forstår ikke det I viser mig !

Hvad forstår du ikke i f.eks. svar #1?

Vi skal eftervise formlen

cosh²x - sinh²x = 1.

Så indsætter vi definitionen for coshx og sinhx på venstre side:

cosh²x - sinh²x = ((e^x+e^-x)/2)² - ((e^x-e^-x)/2)²

      = ((e^x+e^-x)/2 + (e^x-e^-x)/2) ((e^x+e^-x)/2 - (e^x-e^-x)/2)     (benyt a² - b² = (a+b)(a-b) )

      = (e^x/2 + e^x/2)(e^-x/2 + e^-x/2)

     = (e^x)(e^-x) = e^x-x = e⁰ = 1

nu forstod jeg det.. men hvad så med b'eren ?