Matematik

Bestem A(60) osv...

21. februar 2005 af Ine86 (Slettet)

Jeg har en opg. her om måling på en radioaktiv kilde, den målte aktivitet beskrives ved en funktion af typen:

A(t)= A0 e^-kt + B

A0= A nul.. hvis I forstår. hehe.

A(t) er den målte aktivitet, t er tiden, og A0, k og B er konstanter.
B= 15 A0= 1000 og k= 0,0011

Jeg skal så bestemme A(60)
Skal jeg så bare sætte alt ind i formlen? det virker da for lidt? Eller skal jeg finde det lille t, som er efter k?

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. februar 2005 af KemiKasper (Slettet)

Du skal bare sætte ind.

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. februar 2005 af KemiKasper (Slettet)

Det lille t efter k er 60!!

Svar #3
21. februar 2005 af Ine86 (Slettet)

Ja det tænkte jeg nok. Den var da for let. hehe

Svar #4
21. februar 2005 af Ine86 (Slettet)

One more...
Hvordan isolerer man så t?

Hvis jeg har en ligning der ser sådan her ud.

A(t) = 1000 e^-0,0011*t + 15 = 200

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#4: Givet

A(t) = Ao*exp(-k*t) + B

isoleres tiden t ved at udføre følgende operationer på begge sider;

1) Subtrahér B og dividér med Ao
2) Logaritmér
3) Dividér med -k

I øvrigt repræsenterer konstanten B formentlig aktiviteten som følge af baggrundsstrålingen.

//Singularity

Svar #6
21. februar 2005 af Ine86 (Slettet)

Hmm okay.. Nu er jeg nået til.

e^(-k*t) = A(t)-B/Ao

Og så kan jeg ikke helt komme videre... For hvis jeg tager logaritmen osv, så ender jeg med at få e?

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. februar 2005 af frodo (Slettet)

hvis du nu tager den naturlige logaritme, ln, på begge sider:

ln(e^(-kt))=ln((A(t)-B)/Ao) <=>

-kt=ln((A(t)-B)/Ao)

Svar #8
21. februar 2005 af Ine86 (Slettet)

Hmm... undskyld, men jeg forstår bare ikke helt..
Ophæver ln e, eller hva?

Brugbart svar (0)

Svar #9
22. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#8: Ja, thi den naturlige logaritmefunktion og den naturlige eksponentialfunktion er hinandens inverse (omvendte). For ethvert x E R gælder

ln[exp(x)] = x

og dermed har vi

ln[exp(-k*t)] = -k*t

Ved at gennemføre isoleringen af t, ender vi således med

t = (-1/k)*ln[(A(t)-B)/Ao]

//Singularity

Svar #10
22. februar 2005 af Ine86 (Slettet)

What..
Hvorfor ganger du så lige med (-1/k).. Det fatter jeg slet intet af.. Troede vi dividerede der.

Åhh, jeg dør til eksaminen, hehe.

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Division med -k er det samme som multiplikation med -1/k. Mere 'hekseri' er der sådan set ikke i det :-)

//Singularity

Svar #12
22. februar 2005 af Ine86 (Slettet)

Ahh , ja det kan jeg godt se nu. Ahh elsker når jeg forstår ting. haha.

Jeg har endnu et spørgsmål til samme opgave.. eller næsten samme opgave, hvis du (eller I) vil hjælpe mig her også. Og det må gerne være ligesom før, med at skrive hvordan jeg skal gøre, så jeg selv kan finde frem til resultatet!

Det lyder sådan her..

For en anden radioaktiv kilde er B=20, A(10)=800 og A(70)=300.
Bestem konstanterne Ao og k.

Ved godt at jeg skal bruge lidt samme metode som sidst.. men nu er der jo to ting jeg skal isolere....?

Brugbart svar (0)

Svar #13
22. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#12: Det resulterer i et kvadratisk ligningssystem i to ligninger med to ubekendte. Vi har stadigvæk den registrerede aktivitet på formen

A(t) = Ao*exp(-k*t) + B

Den første ligning fås ved indsættelse af B=20, t=10 og A(10)=800.

Den anden ligning fås ved indsættelse af B=20, t=70 og A(70)=300.

Isolér k eller Ao i den ene ligning og indsæt udtrykket i den anden, eller omvendt. Derved kan såvel k som Ao bestemmes.

//Singularity

Svar #14
22. februar 2005 af Ine86 (Slettet)

Nu er jeg nået til det her

300 = 800/(e^-k*10+20) * e^-k*70 + 20

Jeg kan bare ikke se hvordan jeg så kan isolere k!!!??

Brugbart svar (0)

Svar #15
23. februar 2005 af Epsilon (Slettet)

#14: Bruges oplysningerne i #13, har vi disse ligninger til bestemmelse af k og Ao;

800 = Ao*exp(-10*k) + 20 (1)
300 = Ao*exp(-70*k) + 20 (2)

Subtraktion af 20 fra begge ligninger giver

780 = Ao*exp(-10*k) (1')
280 = Ao*exp(-70*k) (2')

k bestemmes nu ved at dividere (2') op i (1') - bemærk, at dette eliminerer Ao - hvorved

780/280 = exp(60*k) *)

*) Husk, at

exp(a)/exp(b) = exp(a-b), så

exp(-10*k)/exp(-70*k) = exp[-10*k -(-70*k)] = exp(60*k)

Dermed er

k = (1/60)*ln[780/280] ~ 0.017075...

og Ao findes dernæst ved at indsætte dette resultat i (1') eller (2'). Ved indsættelse i (1') fås

Ao = 780/[280/780]^(1/6) ~ 925.23...

Tjek selv, at disse værdier af k og Ao ligeledes opfylder (2').

Bemærk, at vi ikke kan udtale os om enhederne for k og Ao, eftersom der ikke er enheder på de andre opgivne størrelser. Men da det er en matematikopgave, er enhederne umiddelbart kun af sekundær interesse.

//Singularity

Skriv et svar til: Bestem A(60) osv...

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.