Hjælp til at finde buelængden i første kvadrant.

Find først de t-værdier der gør, at kurven ligger i første kvadrant (r_x(t) > 0 og r_y(t) > 0). Kald dem t₁ og t₂. Buelængden er så

Jeg har fundet t-værdierne til at være i [3;0].

Er lidt i tvivl om hvordan jeg sætter det andet ind i formlen. Skal jeg differentiere dem hver for sig, eller ?

Kan du måske hjælpe mig lidt i gang:)

Håber du har lyst.

Anders

 Jeg får buelængden til s ≈ 41.

Ja. For det første, så skal t ligge i intervallet ]-3;2[. Hvorfor det? Jo, betingelsen r_x(t) > 0 giver -3 < t < 3 og betingelsen r_y(t) > 0 giver t > -2. Fællesmængen af de to intervaller er intervallet -2 < t < 3. Således er grænserne i integralet -2 og 3. Integranden læses som "længden af vektoren r'(t)". Du differentierer de to funktioner, der udgør r(t), hver for sig. Det giver r'(t) = (-6t,6t²). Beregn så længden af denne vektor og integrér fra -2 til 3. Resten af detaljerne overlader jeg til dig. Som sagt, så er buelængden ca. 41 (40.885 med 5 betydende cifre).

Hej Sigmund.

Tak for hjælpen:)

Jeg får længden til at være sqrt(36t²+36t⁴)

Men hvordan integrerer jeg det ?

Jeg ved at sqrt(t) er : 2/3tsqrt(t)

Se på udtrykket 36t² + 36t⁴ og sæt 36t udenfor parentes. Det giver 36t²(1+t²). sqrt(36t²+36t⁴) giver så 6t*sqrt(1+t²). Således har vi integralet

Sæt nu u = 1+t², dvs. du/dt = 2t <=> dt = [1/(2t)] du. De nye grænser bliver u₁ = 1+(-2)² = 5 og u₂ = 1+3² = 10. Vi har nu integralet

Resten klarer du nok selv...

Perfekt!

Jeg får det til at blive 40,885(ligesom dig).

Det hjalp rigtig meget.

Men lige et spørgsmål.

Forstår ikke hvordan du kan sætte 6t udenfor sqrt, således at sqrt(36t²+ 36t⁴) bliver 6t*sqrt(1+t²) 

Virkelig mange tak:)

Jo, ser du, sqrt(36t²+36t⁴) kan skrives som sqrt(36t²(1+t²)), der igen kan skrives som sqrt(36t²)*sqrt(1+t²). sqrt(36t²) kan skrives som sqrt(36)*sqrt(t²), der er lig 6t. Dvs. at sqrt(36t²+36t⁴) = 6t*sqrt(1+t²). Håber du forstår. :)