Opstilling af differentialligning

Ingen der kan hjælpe?

Bemærk, at udstrømningshastigheden er den samme som indstrømningshastigheden, så mængden af vand i tanken er konstant i tiden. Startkoncentrationen er

k(0) = 25kg/500liter = 50 g/liter

I et lille tidsrum Δt = 1 min omkring tiden t bliver 2 liter med koncentrationen k(t) = y(t)/500liter erstattet af vand med koncentrationen k₁ = 20g/liter. Ændringen i mængden af salt er derfor

dy/dt = 2liter•(-k(t)+k₁)/Δt = 100g/min - 2/500 y(t)/min =100g/min - 0,004 y(t)/min , y(0) = 25000

Der er blevet sagt at jeg ikke skal bruge koncentrationen til noget. Kun mængden af salt.

Det er vel op til dig selv, hvordan du nu vil stille det op. Koncentrationen fortæller dig, hvor salt det vand er, der kommer ind, i forhold til det vand, vi starter med.

Nej det er ikke op til mig selv. For y skal være mængden af salt i vandet.

Og det er det jo også i mit indlæg i #2. Koncentrationen kaldte jeg k.

Mængden af salt. Ikke koncentrationen. Mængden = vægten af det salt der er i tanken.

Jeg har droppet at lave den. Afleverer en halvtom rapport og så må min lærer lære mig det.

Ja, og det er det, jeg har kaldt y(t) i mit indlæg i #2. Jeg indførte også koncentrationen, fordi jeg fandt den bekvem at bruge. Men mit y(t) er det samme som dit y(t), nemlig vægten af alt det salt, der er i tanken. Prøv at læse mit indlæg.

dm/dt = -5 gr/(ltr*min) <=> dm = -5dt <=> m = -5t + C, m(0) = 500 <=> C = 500 <=> m(t) = -5t + 500 

#9 - hvad er m(t) ?

Der løber 5 gr/liter og pr. minut ud af tanken, min pointe er, at det hele er udskiftet i løbet af en time, hvorefter koncentrationen er 20 gram salt pr. liter

#11 - så simpelt er det ikke. Vandet i tanken blandes jo med det indstrømmende vand. Asymptotisk, efter uendelig lang tid, vil koncentrationen nærme sig koncentrationen af det indstrømmende vand, men differentialligningen i #9 er ikke korrekt.

Jeg ville stille det op sådan her med mængden af salt pr. tidsenhed dm/dt = 2 ltr/min * 20 gr. salt/ltr = 40 gr salt/min. Da samme mængde væske løber ud, men saltkoncentrationen ændres fra 50 gr salt/ltr til kun 20 gr salt/ltr, fås

dm/dt 40 gr salt/ltr - 2ltr/min * 25 gr salt/ltr = -5 gr salt/min <=> dm = -5dt, og hvis ikke den er rigtig, så vil jeg gerne se den korrekte differentialligning Andersen.

Kære Morsing - differentialligningen i y, der beskriver mængden af salt i tanken, har jeg sådan set allerede redegjort for i #2. Jeg kan dog se nu, at differentialligningen skal være

dy/dt = 40g/min - 0,004 y(t) /min , y(0) = 25000g , idet 2liter•k₁/Δt = 40g/min.

Denne differentialligning med den givne begyndelsesværdi har løsningen

y(t) = 10000g + 15000g•e^-0,004t/min

Heraf ses det, at mængden af salt er 25000 g til tiden t = 0, og at mængden af salt derefter aftager eksponentielt til 10000 g, der svarer til saltkoncentrationen i den indstrømmende mængde vand.

"dy/dt = 40g/min - 0,004 y(t) /min"

Hvad er de 0,004? Når der er tal, må der også være en enhed. Jeg kan meget bedre finde ud af stykkerne, når enhederne er skrevet med.

Jeg er helt klar over at koncentrationen ikke ændrer sig lineært, men jeg har sagt sådan her: I det første tidsrum dt, når den første mængde vand dm₁ med koncentrationen k₁ rammer overfladen i tanken, vil den anden mængde dm₂ med koncentrationen k₂ forlade tanken. herefter en koncentrationen M_k2+dm_2(k1). Det vil tage et stykke tid, før koncentrationen i bunden af tanken er berørt at koncentrationen i toppen, så i dette differentielle tidsrum vil koncentrationen i bunden være begyndelseskoncentrationen.

#15 - De 0.004 har enheden /min (eller min^-1) som jeg i denne sammenæng skrev efter y(t), der selv har enheden g. Jeg har antaget, at der øjeblikkelig sker en ensformet blanding af vandet i hele tanken med det, der strømmer ind.