Fomel for vinkler i en retvinklet polygon samt areal i en sekskant

Vinkelsummen i en konveks polygon med n sider, n>=3, er

(n-2)*180deg

Dette kan let bevises ved matematisk induktion, idet en (n+1)-kant kan konstrueres ved sammensætning af en n-kant og en trekant.

Hvad sekskanten angår, så mener jeg ikke, at der er en generel 'pæn' formel for arealet, med mindre der er tale om en regulær heksagon (vinkler på 120deg og sider af længde r, hvor r er den omskrevne cirkels radius). I så fald må arealet af heksagonen være

A = [sqrt(27)/2]*r^2

hvis ikke jeg har regnet forkert.

//Singularity

Det er en regulær heksagon
Hvor kommer 27 fra i den formel?

#2: Forbind centrum C for heksagonens omskrevne cirkel med hver af to på hinanden følgende kanter A og B i heksagonen, dvs. tegn liniestykkerne AC og CB. Sammen med siden AB giver dette en ligesidet trekant CAB med sidelængde r, idet heksagonen er regulær.

Vi søger nu højden h fra C med fodpunkt på AB, og bemærker, at højden deler trekanten i to retvinklede 30-60-90-trekanter. Ved at betragte én af disse indser man let, at

sin(60deg) = h/r

hvoraf

h = r*sin(60deg) = r*sqrt(3)/2

Trekantens areal er derfor

T = 1/2*h*r = (r/2)*(r*sqrt(3)/2) = [sqrt(3)/4]*r^2

og da trekanten udgør en sjettedel af heksagonen, er heksagonens areal

A = 6*T = [3*sqrt(3)/2]*r^2 = [sqrt(27)/2]*r^2

hvilket skulle vises.

"Solidum petit in profundis"

//Singularity

Det er jo faktisk let at overskue, når du beviser det.
Du skal have mange tak for hjælpen