Bestem det tidspunkt t0, hvor antallet af influenzaramte vokser hurtigst.

#0 - Da du skal finde maksimum for I'(t), er det nulpunkter for I''(t) du skal kigge på. Den sidste fremgangsmåde er korrekt.

skal jeg så indsætte I = 5000 ind in I(t) og isolere t?

5000 = 10000 / (1+99e^-2t)

<=>  5000 + 495000e^-2t =10000

<=> 495000e^-2t = 5000

<=> e^-2t = 5000 / 495000 = 0,0101...

<=> -2t = ln(0,0101....)

t = ln(0,0101...) / -2 = 2,2976?

er dette så korrekt?

2,2976 uger ser lidt mere fornuftigt ud i mine øjne end 5000 uger

#2 - Ja, det ser rigtigt ud.

Det er ikke l''(t), du finder - så skulle du anvende differentierationsreglen for en sammensat funktion.
l''(t) = (-0,0002(I(t))²+2I(t))' = (-0.0004l(t) +2)*l'(t) , hvor du så indsætter dit udtryk for l' fra differentialligningen
Det er ikke den letteste metode, men den fungerer også.

Det, du finder, er l''(l), idet, du differentierer l' mht. l. Derfor er det netop rigtigt, at du efterfølgende løser mht. t for at bestemme tidpunktet.
l' ER et 2.gradspolynomium i l, så den første metode, du anvendte er fin, bare du bider dig fast i, at din variabel ikke  er t, men l.

Alternativt kunne du differentiere l(t) 2 gange ud fra forskriften for l(t), da du jo har fået den opgivet, og så løse direkte l''(t) = 0. Det er nok det nemmeste og giver også det resultat, du har fået.

#4 - Det, der blev brugt i #0 var sådan set korrekt. Opgavestilleren var bare lidt hurtig i at nå frem til at løse ligningen I''(t) = 0.

Af udtrykket

I'(t) =0,0002*I*(10000-I) = -0,0002I²+2I , fås jo

I''(t) = dI'/dI·dI/dt = (-0.0004I+2)·I'(t) , så I''(t) = 0 ⇒ I'(t) = 0 eller 0,0004I = 2 ⇒ I' = 0 eller I = 5000

Ja, det, der blev brugt var korrekt, men det, der stod, var ikke.
Forskriften som står i #0 
 I''(t) = -0,0004I+2 , er ikke korrekt - der mangler netop faktoren l'(t) , når den uafhængige variabel er t.
Nulpunkterne for ovenstående forskrift for l''(t) ville ikke være de rigtige - de blev heller ikke brugt, men den forkerte forskrift efterlader et missing link i argumentationen.

ok nu blev det indviklet. :P