Matematik
Super svært integral: opg. 3033
Figuren viser en skitse af den kurve, der er givet ved parameterfremstillingen
x = 4 (cost)3 , t ∈[ 0 ; 2π ]
y = 4 (sint)3
Længden af kurven er bestemt ved
0∫2π √ ( dx/dt)2 + (dy/dt)2 ) dt
Beregn den eksakte værdi af kurvens længde
Jeg har regnet dx/dt og dy/dt til følgende:
dx/dt = -12 *sint *(cost)2
dy/dt = 12 *cost *(sint)2
0∫2π √ ( -12 *sint *(cost)2)2 + (12 *cost *(sint)2)2 ) dt
0∫2π √ ( 144 *(sint)2 *(cost)4 + 144 *(cost)2 *(sint)4 )dt
Hvordan kommer jeg videre? Jeg er sikker på, at det er muligt at forkorte disse (sint)2*(cost)4 og omvendt til et eller andet mindre produkt, men aner ikke hvordan.
Svar #1
24. maj 2010 af mette48 (Slettet)
√ ( 144 *(sint)2 *(cost)4 + 144 *(cost)2 *(sint)4 )dt
sætter 144*(sint)2*(cost)2 udenfor en parentes og derefter udenfor √
(12* sint*cos*t√cos2t+sin2t)dt =
(12*sint*cost)dt = 2 sint*cost=sin(2t)
6sin(2t)dt
Håber det er til at forstå, jeg har udeladt ∫ hele vejen
Svar #2
24. maj 2010 af XiphiasFO (Slettet)
hmm en eller anden fejl:
Jeg fandt også en god side med trigonometriske formler
www.analyzemath.com/trigonometry/trigonometric_formulas.html
Mit integral bliver
6*∫sin(2t) dt = 6 [ -½cos(2t) ] = [-3cos(2t)] 02π = (-3cos(2*2π)) - (-3cos(2*0)) = 0 ??
Jeg får 24 med lommeregner.
Svar #3
24. maj 2010 af XiphiasFO (Slettet)
Skal jeg dele grænseværdierne op i dele hvor grafen skærer førsteaksen?
x = [ 0 ; π/4 ]
x = [ π/4 ; 3π/4 ]
x = [ 3π/4 ; 5π/4 ]
x = [5π/4 ; 7π/4]
x = [7π/4 ; 2π]
???
Svar #4
24. maj 2010 af mette48 (Slettet)
Det må være t der opdeles i intervallerne du skriver.
Jeg har ikke set nermere på opgaven, kun på reduktionen af det udtryk du skrev, så jeg kan ikke svare dig.
Mit porslag er at du prøver at opdele i ntervallerne og ser hvad det giver.
Svar #5
24. maj 2010 af XiphiasFO (Slettet)
som man kan forvente så er der tale om en sinus kurve, så halvdelen af grafen er over x-aksen og halvdelen er under x-aksen. Derfor giver det 0. Arealet bliver sikkert 12 ovenfor og -12 nedenfor som så giver 0 tilsammen.
Der er måske en eller anden metode at regne det ud med det samme, men jeg må hellere bare dele det op i intervallerne jeg skrev.
Skriv et svar til: Super svært integral: opg. 3033
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.