Matematik

ulighed

03. juni 2010 af Quantum (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

vis e^pi > pi^e

Brugbart svar (0)

Svar #1
03. juni 2010 af Bankier (Slettet)

find regneregler for e^x

Brugbart svar (1)

Svar #2
03. juni 2010 af Andersen11 (Slettet)

Er problemet at vise, at

e^π > π^e ?

Svar #3
03. juni 2010 af Quantum (Slettet)

Den skal løses på en måde uafhængig af trivielle regneregler. Ellers får vi jo en "ulogisk cirkel".

Svar #4
03. juni 2010 af Quantum (Slettet)

#2 ja

Brugbart svar (2)

Svar #5
03. juni 2010 af Andersen11 (Slettet)

Betragt funktionen

f(x) = x/ln(x) . Dens differentialkvotient er

f'(x) = (ln(x) - 1)/(ln(x))² .

Da funktionen ln(x) er voksende, gælder der for x > e, at ln(x) > 1 , og dermed at f'(x) > 0 for x > e . Det vil sige, at funktionen f(x) er voksende for x > e.

Da nu π > e har vi dermed, at f(π) > f(e), og dermed

π/ln(π) > e/ln(e) eller

π·ln(e) > e·ln(π) , eller

ln(e^π) > ln(π^e) , og da ln(x) er voksende, får vi

e^π > π^e , q.e.d.

Skriv et svar til: ulighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.