Skæring ml. plan og linje - hvornår parallel?

Hvis linjen er parallel med planen, men ikke ligger i planen, vil du ende med en ligning, der ikke har løsninger, fx 2 = 0.

Hvis linjen ligger i planen, ender du med en ligning, der har alle reelle tal som løsning, fx 4 = 4.

Jeg tror godt jeg kan følge tanken, men vil der ikke altid være et t på den ene side?

Hvis du har et eksempel ville det være super - tror jeg forstår det lidt bedre så...

#2

Sammenlign en retningsvektor for linien med en normalvektor for planen. Hvis skalarproduktet af de to vektorer er 0, gælder der enten at hele linien ligger i planen, eller også at der ingen skæringspunkter. Dette kan afgøres ved at se på et enkelt punkt på linien og prøve efter i planens ligning. Hvis skalarproduktet af de to vektorer ikke er 0, skærer linien planen i et enkelt punkt, der så kan findes på sædvanlig vis.
 

Eksempel:
α: z = 0 (xy-planen) normalvektor [0,0,1]

Tilfælde I:
Linjen m: [x,y,z] = [0,0,1] + t[1,0,0] = [t,0,1] indsættes i ligningen for α: 1 = 0 : Ingen løsninger
Linjens retningsvektor står vinkelret på planens  normalvektor, så linjen m er parellel med planen α, men punktet (0,0,1) ligger IKKE i xy-planen.

Tilfælde II:
Linjen m: [x,y,z] = [1,0,0] + t[1,0,0] = [t+1,0,0] indsættes i ligningen for α: 0 = 0 : Alle t er løsninger
Linjens retningsvektor står vinkelret på planens normalvektor, så linjen m er parellel med planen α, OG punktet (1,0,0) ligger i xy-planen.
 

Tilfælde III:
Linjen m: [x,y,z] = [1,0,0] + t[1,0,1] = [t+1,0,t] indsættes i ligningen for α: t = 0  er løsning
Linjens retningsvektor står ikke vinkelret på planens normalvektor, så linjen m skærer planen α, i punktet (1,0,0).

Hjalp det?

Meget... mange tak