Matematik eksamen B.

Hmmm ... altså du kan bestemme monotoniforhold for en funktion ved at differentiere funktionen, og dernæst sætte f'(x) = 0. På den måde finder du alle de steder på grafen for funktionen hvor tangentens hældning er lig nul (altså er tangenten vandret). Og så kan du så ud fra disse fundne x-koordinater undersøge monotoniforholdene ved at tegne en fortegnslinje, og derudfra indsætte forskellige x-værdier i den afledte funktions forskrift, således at du kan se om værdierne er henholdsvis negative eller positive, og altså om funktionen er aftagende eller voksende ... Jeg ved ikke helt om det var det svar du søgte?

Mht. andet spørgsmål:

Integralregning udgør inden for matematikken sammen med differentialregning den såkaldte infinitesimalregning.  Integralregning er det modsatte/omvendte af differentialregning, og man skal altså kunne forstå differentialregning for at kunne forstå integralregning.

Når du f.eks. differentiere en funktion f(x) så får du den afledte funktion f'(x). Hvis du derimod integrere funktionen f(x), jamen så får du stamfunktionen F(x). Stamfunktionen betegnes også det ubestemte integral.
Man kan bestemme stamfunktionen for enhver kontinuert/sammenhængende funktion f(x) som ikke har nogle spring i definitionsmængden og hvor værdimængden ligeledes forbliver et lukket interval.

Hvis du ønsker at komme tilbage til den oprindelige funktion f(x) fra stamfunktionen F(x), så differentiere du F(x), således at F'(x) = f(x). Ønsker du fra differentialkvotienten f'(x) at komme tilbage til den oprindelige funktion f(x), jamen så integrerer du f'(x). Problemet i dette opstår ved, at konstanten forsvinder når du differentierer den oprindelige funktion f(x), og konstanten kommer derfor ikke tilbage når du integrerer f'(x). Fx hvis man har en funktion der hedder x² + 5 og denne funktion differentieres. Da vil funktionen blive 2x, men konstanten 5 vil forsvinde. Hvis man så ønsker at komme tilbage til selve funktionen f(x) skal man integrere den differentierede funktion, hvilket da bliver x².

For derfor at finde samtlige stamfunktioner til en funktion, så tilføjer man en konstant k. Ved at tilføje konstanten betyder det grafisk at du forskyder stamfunktionen på y-aksen, som gør at stamfunktionerne aldrig skærer hinanden. Kender man derfor én stamfunktion, fås alle andre ved til den fundne stamfunktion at addere en vilkårlig konstant. Dvs., at du grafisk parallelforskyder grafen for funktionen lodret op eller ned i et koordinatsystem.

Man kan bestemme en konstant til en stamfunktion F til f, dvs. man kan bestemme en specifik stamfunktion i et specifikt koordinatpunkt, fx F(1) = 2. I dette tilfælde finder du stamfunktionen for en funktion, tilføjer en konstant k, og indsætter nu koordinatpunktet i stamfunktionen for dernæst at isolere k. Den fundne værdi af konstanten k indsætter du dernæst i stamfunktione, og voila! Så har du fundet en specifikt stamfunktion til en funktion.
 

Man kan også snakke om generelle regneregler for stamfunktioner:
a) F(x) + G(x) er en stamfunktion til f(x) + g(x)
b) F(x) – G(x) er en stamfunktion til f(x) – g(x)
c) kF(x) er en stamfunktion til kf(x)

Det er disse regneregler som vi anvender, når vi udregner en stamfunktion F(x) til en f(x). (Bevis dem evt. ved bare at differentiere reglerne)

Man kan tillige snakke om de såkaldte bestemte integraler. Hvis man kender en stamfunktion, så kan man anvende stamfunktionen/det ubestemte integral til videre at bestemme det bestemte integral.

Hvis man i et koordinatsystem tegner en graf for en funktion, og dernæst indsætter to punkter på x-aksen, hvorfra man tegner to steger op fra disse x-værdier, så får du et interval af funktionen, hvormed du kan bestemme arealet af mellem grafen og x-aksen, afgrænset af de to punkter på x-aksen. Det bestemte integral betragtes derfor her som arealet under en funktion. Et godt eks. til eksamen er:

f(x) = x³ +2x + 1, hvor du bestemmer arelet fra fra 0 til 2 på x-aksen.

Sig endelig til hvis der er noget du ikke forstår!
 

Når man har forklaret det du lige har skevet om spørgsmål 2 - har man så forklaret sammnhængen mellem arealet og det bestemte integral? Kan det passe at der er så simpelt?

Hvis ja....

Hvad synes du så mere man kan tale om? For jeg har skrevet nogenlunde det du har, og jeg tvivler på at jeg kan få en halv time til at gå med det.

Det jeg beskrev er henholdsvis det ubestemte integral som man skal forstå for at have en forståelse af det bestemte integral :) Dvs., at jeg mest af alt har beskrevet det ubestemte integral, og dernæst beskrevet det bestemte integral som en videreudvikling af integralbegrebet.

Der findes også en række stamfunktioner til forskellige funktioner, som du kan finde ved bare at søge på google, som man også (ligesom regnereglerne) kan bruge til at bestemme stamfunktioner. Dem kan du så også lige kort nævne + evt. bevise ved at differentiere. Men generelt ville jeg vælge at forsøge at bringe så mange eks. med som muligt i det her spørgsmål, eftersom der ikke er særlig meget fylde i emnet ... men du kunne jo fx også starte ud med at beskrive hvad en funktion kort er, og tegne grafen for en funktion. Dernæst kunne du så i forlængelse heraf snakke om værdi- og definitionsmængde for dernæst at kunne snakke om kontinuerte funktioner (som du så kan bruge, når du skal definere hvilke funktioner man kan finde stamfunktioner til). Bare et forslag for at fylde på ;)

Desuden kunne/burde du, når du har særligt med bestemt integral at gøre, bevise sætningen for bestemte integraler - det er et længere bevis som kræver lidt forklaringsarbejde, og tager derfor en del tid!!!