matematisk analyse (differentation)

Hvad mener du med at du har løst opgaven ved at differentiere?

Du skal

1) vise at f''(x) = 1/(1+x)

2) Vis dernæst at hvis formlen  gælder for n, så gælder den også for n+1

jamen jeg kan ikke forklare det, jeg skal bare vise det der står i opgaven, det var det jeg ville forklare.

hvorfor skal jeg vise at f''(x) = 1/(1+x)

og hvordan skal jeg så vise at formlen gælder  n, skal jeg vise det vha. induktion. Skal jeg os vise at den gælder for n+1, eller gør den det automatisk, hvis ja, hvorfor så ?

 Øh. Jeg er ikke sikker på, at jeg forstår dit indlæg..

Hvis du vil vise, at den gælder for et vilkårligt n, plejer metoden (med induktion) at være: Hvis, at det gælder for n=0, n=1 eller hvad du nu kan. Antag, at det gælder for k = n. Vis, at det gælder for k + 1. Og så har vi nogle aksiomer, der siger, at hvis de gælder for k = 0 og k = n + 1, medfører det, at det gælder for k = n..

jamen jeg ved det ikke, jeg er en del selv i tvivl her :S, jeg ville høre hva folk har at sige, jeg forstår heller ikke metoden i  indlæg #1

her har jeg også et pdf format af denne fil 

 Ah. Ja:

Induktionsstart: Differentier den 2 gange og vis, at formlen passer for n = 2.

Induktionsskridt: Antag, at formlen passer for k = n.

Induktionslir: Vis, at den passer for k = n+1. Dette skal du gøre ved, at vise at: f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = ( f⁽ⁿ⁾(x) )'  

(Sæt altså ind i formlen med henholdsvis (n+1) og n. Differentier så den med n og observer, at de er ens.)

Vil jeg tro.. :)

hvordan skal jeg differensere n+1 gange, altså f^(n+1)(x)? 

eller for den sags skyld vise f⁽ⁿ⁾ (x) 

Det eneste du skal differentiere er formlen for den n'te differentieret. Da vi VED (pr. antagelse), at den n'te differentierede er givet ved, at sætte n ind i formlen, må den n+1'te differentierede være givet ved n'te differentierede, differentieret. Altså: (f⁽ⁿ⁾(x))' = f⁽ⁿ⁺¹⁾(x).. Idéen er så, at vi skal vise, at formlen også gælder for n + 1. Hvorfor vi sætter n + 1 ind i formlen og viser, at den er det samme som: ( f⁽ⁿ⁾(x) )'...

altså nu skal jeg være med. jeg har vist at f⁽²⁾ (x) = 1/(1+x)

det var basis skridtet

når jeg skal vise induktionsskridtet så er det (f⁽ⁿ⁾(x))' = f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)

når jeg har vist det, så har jeg løst opgaven?

 Jep. Hvis du altså antager, at den gælder for k = n. Hvilket du nok gør ;)

når jeg udregner f⁽ⁿ⁾ (x) ' så får jeg intet der ligner f^(n+1)(x)  :S

Jeg kan altså slet ikke få det til at gå op :S

 (f(n)(x))' = (-1)^n*(n-2)! * ((x+1)^(-n+1))' (n'erne er bare konstanter...

= (-1)^n*(n-2)! * ((x+1)^(-n))*(1-n) = (-1)^(n+1)*(n-2)! * ((x+1)^(-n))*(n-1) = (-1)^(n+1)*(n-1)! * ((x+1)^(-n))...

Da (n-1)*(n-2)! = (n-1)! og (-1)^n*(1-n) = (-1)^n*(n-1).. (Bare regn..)

jeg får at f⁽ⁿ⁾(x)' = -((-1)^n(n-2)!*(n-1)/(x+1)ⁿ)

og at f⁽ⁿ⁺¹⁾ (x) = (-1)ⁿ⁺¹ * (n-1)!/ (x+1)ⁿ 

her ser jeg at nævneren er på plads, men tælleren kan jeg ikke få til at gå op :S

altså når jeg sætter tal ind i tælleren så er de lig hinanden, men jeg kan ikke lige komme frem til hvordan det skulle være:S

nu får jeg så meget at jeg har at  f(n)(x)' = f(n+1) (x) ⇒ -((-1)ⁿ*(n-2)!*(n-1)/(x+1)ⁿ) = (-1)n+1 * (n-1)!/ (x+1)n 

⇒ ((-1)ⁿ⁺¹*(n-2)!*(n-1)/(x+1)ⁿ) = (-1)n+1 * (n-1)!/ (x+1)ⁿ 

så skal jeg lige have sat på plads at (n-2)!*(n-1) = (n-1)!, er der nogen der ved hvordan det står til?

                                  (n-2)! = (n-2)·(n-3)·(n-4)·.......·3·2·1

                                  (n-1)·(n-2)!  = (n-1)·(n-2)·(n-3)·(n-4)·.......·3·2·1 = (n-1)!

jeg forstår virkelig ikke det der fakultet regning, er der ingen side man kan læse om det på. Fx de der udregninger forstår jeg ikke. hvorfor skriver du, *3*2*1 til sidst der? 

Tjek wikipedia..