En matematisk transformation

Dir resultat kan ikke være rigtigt, idet resultatet ikke er en funktion af x. Brug partiel integration. Det giver [(x-w)F(x)]_w^∞-∫_w^∞F(x)dx

Det ovenstående er et led i et bevisførelse som jeg ikke forstår (dvs. jeg har ikke selv regnet det ud).

Indtil videre er mit bedste bud at man trækker x og w ud på en eller anden måde og ændre dF(x) til dx på en eller anden måde (fx ændre grænserne for integralet.

Men tak for buddet alligevel

∫_w^∞ [x-w]dF(x) = ∫₀^∞ [x-w]dF(x) - ∫₀^w [x-w]dF(x) ,

og under antagelse af at x er positiv er ∫₀^∞ [x-w]dF(x)  = E_F(x-w) .

Bagefter bruger du partiel integration på restleddet -∫₀^w [x-w]dF(x) og viser at det er lig ∫₀^w F(x)dx.

/Christian

Det først transformation kan jeg vist godt følge med i:

Integralet mht. dF(x) for 0 => uendelig giver det forventet værdi af F(x).

Jeg har så prøvet at bruge partial integration:

∫_a^b a(x)*g(x)dx =[A(x)*g(x)]_a^b   -  ∫_a^b A(x)*g'(x)dx

på -∫₀^w [x-w]dF(x).

Det resultat jeg får ([x-w]=a(x) og 1 = g(x)) ==>

[[x-w]F(x)]_a^b - ∫_a^b [x-w]F(x)*0dF(x) ==> ?

Nogen der har forslag til næste skridt (eller har jeg regnet forkert i ovenstående?)

/Dan

Hej Dan,

Når du bruger partiel integration på et Stieltjes integral fungerer det ligesom for et normalt Riemann integral,

∫_a^bG(x)dF(x) = [G(x)F(x)]_a^b-∫_a^bF(x)dG(x).

Dvs.,

∫₀^w [x-w]dF(x)=[[x-w]F(x)]₀^w - ∫₀^w F(x)dx.

Ved indsættelse af grænserne i det første led ser du at det er nul, da F(0)=0.

- Jeg håber at det var forståeligt.

/Christian

Hvordan er det at du kan være sikker på at F(0)=0 når funktionen ikke er specificeret?

/Dan

 F er en sandsynlighedsfordeling med support i [0,∞[, så

F(0) = ∫₀⁰dF(x) = 0 .

Hvis F's support havde været de reelle tal ville

F(0) =∫_-∞⁰dF(x)  , 

hvilket ikke nødvendigvis er nul.

/Christian

Tak for svarene Christian. De hjælp meget.

Hilsen Dan