Matematik

y=(1+x^2)^½ --> udregn y''?

18. september 2010 af Antox (Slettet)

Hej

Jeg har følgende funktion: y = (1+x²)^-½, og jeg skal så udregne d²y/dx²

Jeg har regnet mig frem til, at dy/dx = y ' = x * (1+x²)^-½

For at finde d²y/dx², sætter jeg y ' = x * u^-½, u = (1+x²)

Herefter udregner jeg dy '/du = 1 * u^-½ + x * -½u^-3/2 (jeg har brugt produktreglen) og du/dx = 2x

dy '/dx = (u^-½-½xu^-3/2) * 2x <=> dy '/dx = 2x*u^-½-x²*u^-3/2

Jeg substituerer tilbage til (1+x²) og får:

dy '/dx = 2x(1+x²)^-½-x²(1+x²)^-3/2

Her opstår mit problem så, for ifølge løsningsvejledningen, bør jeg ende ud med nedenstående resultat:

d²y/dx² = (1+x²)^-½ - x²(1+x²)^-3/2 = (1+x²)^-3/2((1+x²)-x²) = (1+x²)^-3/2

Jeg kan sagtens forstå, hvordan udviklingen sker i ovenstående udtryk, men jeg kan ikke se, hvad det er for en fejl, jeg har lavet i min egen udregning? Såvidt jeg kan se, har jeg blot 2x for meget i mit sidste udtryk, men betyder det, at det ikke er hvert led i dy '/du, der skal ganges med u ' = 2x, sådan at jeg kun skal gange de 2x på -½x(1+x²)^-3/2. Det, synes jeg bare, virker ulogisk, men hvis det ikke er der, fejlen ligger, er der så nogle, der kan spotte den, for jeg har vist stirret mig blind på det.

På forhånd tak! :-)

Brugbart svar (2)

Svar #1
18. september 2010 af Andersen11 (Slettet)

Din funktion er nok, som du skriver i titlen

y = (1+x²)^1/2

og ikke, som du beskriver i teksten i #0.

dy/dx = (1/2)·2x·(1+x²)^-1/2 = x·(1+x²)^-1/2 .

Benyt den velkendte regel (xⁿ)' = n·x^n-1 og reglen om differentiation af en sammensat funktion. Vi får nu

d²y/dx² = (1+x²)^-1/2 -(1/2)·x·2x·(1+x²)^-3/2

= (1 - x²/(1+x²))·(1+x²)^-1/2

= (1+x² -x²)·(1+x²)^-3/2

= (1+x²)^-3/2

Du gør det kun mere besværligt med den substitution i #0. Du glemmer led med dx/du:

d(y')/du = d(xu^-1/2)/du = u^-1/2·dx/du + x·(-1/2)u^-3/2 ;

men du skal så også regne dx/du ud og finde ud af, hvordan du kommer fra d(y')/du til d²y/dx² .

Svar #2
18. september 2010 af Antox (Slettet)

Tusind tak for al din hjælp, det hjalp rigtig meget! Jeg kan godt se, at min fejl var, at jeg havde glemt at gange med den indre funktion ' i differentieringen - nu giver det meget mere mening :-)

Skriv et svar til: y=(1+x^2)^½ --> udregn y''?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.