Kompleks eksponentialligning

Lad os skrive tallet z på rektangulær form som

z = a + ib, hvorved

z²π = (a²-b²)π + i·2abπ

Vi skal da løse ligningen

e^{(a^2-b^2)π}·(cos(2πab) + i·sin(2πab)) = i

hvoraf aflæses

cos(2πab) = 0

sin(2πab) = 1

og e^{(a^2-b^2)π} = 1

Man aflæser, at der må gælde

2πab = (π/2) + 2pπ , p ∈ Z

og

(a² - b²)π = 0 , dvs

ab = (1/4) + p , p ∈ Z , og

a² = b² , dvs |a| = |b| . Der skal altså gælde a = b eller a = -b og

ab = (1/4) + p, p ∈ Z , dvs

±a² = (1/4) + p, p ∈ Z

Modulus af z = a + ib er |z| = √(a² + b²) = |a|√2

Da der også skal gælde |z| < 1 , skal vi finde samtlige tal på formen

±a² = (1/4) + p , for hvilke |a| < 1/√2 , eller for hvilke a² < 1/2 , altså

a² = ±(1/4) + p, p ∈ Z , for hvilke a² < 1/2

a² = 1/4 er den eneste løsning til dette, så vi finder

(a,b) = (-1/2 ; -1/2) , (-1/2 ; 1/2) , (1/2 ; -1/2) , (1/2 ; 1/2) som de fire mulige løsninger, altså

z = ±(1/2) ±i/2

Jeg kan virkelig ikke gennemskue hvordan du gør i #2 fra start til bund, især ved aflæsning og hvordan √2 kom frem.

#3

Da |a| = |b|, er |z| = √(a² + b²) = √(a² + a²) = |a|√2

Resultatet af #1 var

cos(2πab) = 0

sin(2πab) = 1

og e^{(a^2-b^2)π} = 1

hvor z = a + ib er en løsning til ligningen  e^{z^2·π} = i .

Af de to første ligninger følger, at

2πab = (π/2) + 2pπ , og dermed

ab = (1/4) + p med p ∈ Z .

Af den tredje ligning følger, at

(a² - b²)π = ln(1) = 0 , dvs

a² = b² , og dermed |a| = |b| , dvs a = ±b . Det komplekse tal z har da formen z = a ±i·a = a(1 ±i) . Yderligere skal der gælde, at

ab = (1/4) + p, dvs

a² = ±(1/4) + p .

Nu søger vi de løsninger z, for hvilke |z| < 1. Vi har |z| = |a|√2 , så vi er begrænset til de a-værdier, for hvilke

a² = ±(1/4) + p og |a| < 1/√2 . Vi er da begrænset til p = 0, og dermed a² = 1/4 , dvs |a| = 1/2 og dermed

z = ±(1/2) ±i·(1/2)

Indeed. Nu har jeg kun et lille hul tilbage. Det er ved begrænsning for den lille division

|a| < 1/√2,

|a| < 0,7071.

#5

Der søgtes løsninger for hvilke |z| < 1, dvs |a|√2 < 1, dvs |a| < 1/√2 .

Jeg kom lige i tanke om, ifølge Maple, gives der kun 2 løsninger:

(1/2 ; 1/2i) og (-1/2 ; -1/2i)

Hvilket får mig til at tvivle lidt.