Matematik
Røringspunkt på kugle
10. april 2005 af
TwoStates (Slettet)
Jeg har to planer a og b, som jeg får oplyst er parallelle.
Kugleligningen er:
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9
Planen a har røringspunkt P(3,1,5)
Man skal så beregne plan a's ligning, hvilket jeg får til:
2x-y+2z-15=0
Næste spørgsmål er så:
"Beregn koordinatsættet til røringspunktet for plan b."
Og jeg er helt blank her må jeg indrømme. Kan godt være fordi det er sent, men jeg kan slet ikke komme i tanker om noget jeg kan gøre.
Nogle der evt. kunne give et lille hint ?
På forhånd tak !
Kugleligningen er:
(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=9
Planen a har røringspunkt P(3,1,5)
Man skal så beregne plan a's ligning, hvilket jeg får til:
2x-y+2z-15=0
Næste spørgsmål er så:
"Beregn koordinatsættet til røringspunktet for plan b."
Og jeg er helt blank her må jeg indrømme. Kan godt være fordi det er sent, men jeg kan slet ikke komme i tanker om noget jeg kan gøre.
Nogle der evt. kunne give et lille hint ?
På forhånd tak !
Svar #1
10. april 2005 af Epsilon (Slettet)
Tangentplanerne a og b er parallelle, så radiusvektor CP = (2,-1,2) vil også være en normalvektor for b.
Med Q = (x0,y0,z0) betegnes røringspunktet på kuglen for planen b. Vi giver to løsningsmetoder.
Metode 1:
Vi har, at
CQ = s*CP (hvorfor?)
|CQ| = |CP| = r
for et s E R\\{0,1}. Bemærk, at s = 1 er uinteressant, eftersom CQ = CP implicerer Q = P.
Bestem s og koordinatsættet til Q, som ifølge indskudsreglen for vektorer i rummet er
OQ = OC + CQ = (1,2,3) + CQ
Metode 2:
Vi observerer, at
n: (x,y,z) = (1,2,3) + s(2,-1,2)
definerer en parameterfremstilling for den (rum)linie n, som gennemløber kuglens centrum og er vinkelret på planerne a og b. Tangentplanernes røringspunkter P og Q er således skæringspunkterne mellem n og kuglen.
Indsæt koordinatudtrykkene fra parameterfremstillingen i kuglens ligning og løs den fremkomne ligning i s, hvorefter P og Q kan beregnes ved substitution af s-værdierne i parameterfremstillingen.
Metode 1 er naturligvis den korteste, men afprøv alligevel begge metoder for at kontrollere, at de derved opnåede resultater er identiske.
//Singularity
Med Q = (x0,y0,z0) betegnes røringspunktet på kuglen for planen b. Vi giver to løsningsmetoder.
Metode 1:
Vi har, at
CQ = s*CP (hvorfor?)
|CQ| = |CP| = r
for et s E R\\{0,1}. Bemærk, at s = 1 er uinteressant, eftersom CQ = CP implicerer Q = P.
Bestem s og koordinatsættet til Q, som ifølge indskudsreglen for vektorer i rummet er
OQ = OC + CQ = (1,2,3) + CQ
Metode 2:
Vi observerer, at
n: (x,y,z) = (1,2,3) + s(2,-1,2)
definerer en parameterfremstilling for den (rum)linie n, som gennemløber kuglens centrum og er vinkelret på planerne a og b. Tangentplanernes røringspunkter P og Q er således skæringspunkterne mellem n og kuglen.
Indsæt koordinatudtrykkene fra parameterfremstillingen i kuglens ligning og løs den fremkomne ligning i s, hvorefter P og Q kan beregnes ved substitution af s-værdierne i parameterfremstillingen.
Metode 1 er naturligvis den korteste, men afprøv alligevel begge metoder for at kontrollere, at de derved opnåede resultater er identiske.
//Singularity
Svar #2
11. maj 2005 af Markus (Slettet)
Metode 1- hvordan beregnes en værdi for s? OQ=(2s+1,-s+2,2s+3). Opstille et ligningssystem?
Skriv et svar til: Røringspunkt på kugle
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.