Matematik
3. gradsligninger
Hvilken metoder findes der til at løse 3. gradsligninger i hånden, hvis man har ax3+bx2+cx+d hvor d er forskellig fra 0.
Jeg har kigget lidt rundt og ser at de fleste bruger polynomiers division, men dette har vi ikke lært. Udover det, kunne jeg bruge det og finde løsningerne. Men det der undre mig ved denne metode er 'gæt' en rod til at starte med. I de eksempler som jeg har set, plejer der altid at være en rod = 1, og derfor gætte de 1 som en rod (hvilket ved mit tilfælde også har 1 som rod). Men hvis 1 ikke var rod, hvad gør man så? eller er det bare det simplest at gætte rod=1?.
Hvis der er andre metoder, ville jeg gerne hører dem.
Husk, at det skal gøres i hånden, altså ingen solve-programmer.
Svar #1
02. november 2010 af Henriksorensen (Slettet)
Der findes formler for at udlede rødderne af tredjegrads- og fjerdegradspolynomier, men de er ret komplicerede, hvorfor det oftest er nemmest blot at benytte sig af polynomiers division. Metoden er ikke svær; at dividere et polynomium op i et andet svarer til at dividere et tal op i et andet.
At gætte en rod er relativt nemt. Lad os tage et eksempel
0=x3-4x2-4x-16.
Læg nu 16 til på begge sider af lighedstegnet og sæt da x uden for en parentes på højresiden opnå
16=x(x2-4x-4).
Alle de x-værdier, der går op i 16, kunne være gode gæt på heltallige rødder. Vi har altså, at x=±1, x=±2, x=±4, x=±8, x=±16 kunne være relevante bud. Så vi kan jo bare starte nedefra. Vi ser klart ved at indsætte, at x=±1 ikke her er en rod, men det er klart, at det ofte er et godt gæt, idet 1 jo går op i alle heltal. :)
Både x=±2 er dog løsninger, og vi kan jo blot udvælge den ene og da udføre polynomiers division. Ellers fortsætte med at gætte og indse, at x=4 også er en løsning, og da et tredjegradspolynomium maksimalt kan have 3 rødder, har vi altså fundet dem alle (men det er jo lidt kedeligt).
Alternativt, hvis du kan overskue det, er det selvfølgelig fint at faktorisere andengradsligningen og indse, at det kan skrive på formen
0=(x-4)(x+2)(x-2),
hvorfor rødderne altså må være som just gættet.
Svar #2
02. november 2010 af Gaier (Slettet)
Mange tak :)
Rettelse ved ligningen: 0=x3 -4x2-4x+16.
Hvis vi siger at vi har et (skævt) d med decimaler som fx d=16,5. Gætter man så på x=±8,25, x=±4,125, x=±2,0625... Dette er bare for at se om jeg har forstået det :)
Svar #3
03. november 2010 af Henriksorensen (Slettet)
Du vil formodentlig aldrig blive bedt om at løse en tredjegradsligning i hånden, hvis den har skæve rødder. Men det bliver en del mere avanceret at gætte så, idet du jo ikke kan regne med, at parentesen (når du har sat x uden for) giver et heltal så.
I virkeligheden ville vi jo altid løse en sådan ligning ved et computerprogram eller en lommeregner, så du kan du nok regne med, at du udelukkende skal bruge denne teori i skolen, og der vil du altid få heltallige rødder. Andet ville ikke give mening.
Tak for rettelsen. +16 er naturligvis rigtigt. Utroligt, at man ikke engang evner at skrive rigtigt ned. :-)
Skriv et svar til: 3. gradsligninger
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.