Planintegral med kartesiske/polære koordinater

I polære coordinater sætter man x = r·cos(θ) og y = r·sin(θ), hvor så

r = √(x²+y²) og cos(θ) = x/r og sin(θ) = y/r , r > 0.

Den halve cirkelskive i opgaven svarer da til 0 ≤ r ≤ 1 og π/2 ≤ θ ≤ 3π/2 , og arealelementet dA = dx·dy = r·dr·dθ . Dermed fås

∫_D x² dA = ₀∫¹ _π/2∫^3π/2 r²·cos²(θ)·r·dθ·dr = ₀∫¹ r³dr·_π/2∫^3π/2 cos²(θ) dθ

 Tak for hjælpen!

Har lige 3 spørgsmål, da jeg har fået samme opgave:

1: Hvordan omskrives D til 0 ≤ r ≤ 1 og π/2 ≤ θ ≤ 3π/2 ?

2: Arealelementet dA = dx · dy = r · dr · dθ, hvorfor?

3: Hvorfor bliver ₀∫¹ _π/2∫^3π/2 r²·cos²(θ)·r·dθ·dr    lige pludselig til    ₀∫¹ r³dr   ·   _π/2∫^3π/2 cos²(θ) dθ

Jeg vil gerne aflevere opgaven færdiglavet, men vil da også lære hvad jeg i virkeligheden laver, er ikke meget for at skrive af.

Håber nogen kan/vil svare :)

#3

1. Jeg kan ikke lige huske, hvad opgaven gik ud på, og linket i #0 virker ikke længere. Men der må være tale om halvcirklen med radius 1 , centrum i (0,0) og med x ≤ 0 . Ved at se på, hvorledes polære koordinater er defineret, vil man indse, at det drejer sig om den del af enhedscirklen, der har argumenter mellem π/2 og 3π/2 .

2. Ændrer man et sæt polære koordinater (r ; θ) til (r + dr ; θ + dθ), udspændes et infinitesimalt rektangel med siderne dr og r·dθ, hvorfor arealelementet er dA = r·dr·dθ .

3. I integralet kan de variable r og θ helt separeres, så man kan flytte r-faktorerne uden for θ-integralet.

er man så færdig med opgaven når man har ₀∫¹ r³dr·_π/2∫^3π/2 cos²(θ) dθ

hvordan kommer du frem til  0 ≤ r ≤ 1 ? er det ved at indsætte hhv. -1 og 0 (fra -1 ≤ x ≤ 0) i hhv. -√(1-x²) og √(1-x2) (fra -√(1-x2) ≤y≤√(1-x2)) hvormed fås

-√(1-(-1)²) = 0

√(1-0²) = 1

#5

Nej, men de to integraler kan man let beregne.

#6

Det indses lettest ved at lave en tegning, Læs forklaringen i #4.

hvad er det så man indsætter i integralet ₀∫¹ r³dr·_π/2∫^3π/2 cos²(θ) dθ for at få det endelige resultat?

#9

Man beregner de to integraler særskilt. Man har

₀∫¹ r³dr = [r⁴/4]¹₀ = 1/4 og

_π/2∫^3π/2 cos²(θ) dθ = [θ/2 + sin(2θ)/4]^3π/2_π/2 = π +(1/4)·(sin(3π)-sin(π)) = π ,

så

∫_D x² dA = ₀∫¹ _π/2∫^3π/2 r²·cos²(θ)·r·dθ·dr = ₀∫¹ r³dr·_π/2∫^3π/2 cos²(θ) dθ = π/4 .

...er du sikker på du ikke laver en regnefejl i _π/2∫^3π/2 cos²(θ) dθ = [θ/2 + sin(2θ)/4]^3π/2_π/2 = π +(1/4)·(sin(3π)-sin(π)) = π 

når jeg udregner ∫ cos2(θ) dθ (tjekket med maple) får jeg resultatet 1/2 cosθ sinθ +1/2 θ og ved indsættelse af grænserne giver dette dermed 1/2 π

#11

Ja, du har ret. Linierne i #10 skal rettes til

_π/2∫^3π/2 cos²(θ) dθ = [θ/2 + sin(2θ)/4]^3π/2_π/2 = π/2 +(1/4)·(sin(3π)-sin(π)) = π/2 ,

så

∫_D x² dA = ₀∫¹ _π/2∫^3π/2 r²·cos²(θ)·r·dθ·dr = ₀∫¹ r³dr·_π/2∫^3π/2 cos²(θ) dθ = π/8 .