Bestem integrals grænseværdi

 prøv at se, om dette link kan hjælpe dig et stykke videre:

http://da.wikipedia.org/wiki/Uegentligt_integral

Med substitutionen t = ln(x) , dt = (1/x) dx , omskrives integralet til

₁∫^e dx/(x√(ln(x))) = ₀∫¹ t^-1/2 dt = [2t^1/2]¹₀ = 2

Jeg forstår, at du differentierer t=ln(x) mht. x, og isolerer så dt (dt=1/x dt). Men jeg forstår ikke "∫ dx/(x*√(ln(x)))" Hvorfor må du lave helt om på formen "∫ f(x) dx"?

#3

Det er omskrivningen

∫ f(x) dx = ∫ f(x(t)) ·(dx/dt) dt

der finder sted, med substitutionen x = x(t). Her er f(x) = 1/(x·√(ln(x))) og x(t) = e^t , så dx/dt = e^t = x , og f(x(t)) = 1/(x·√(t)) . Dermed er

f(x(t))·(dx/dt) = 1/√t = t^-1/2 , og dermed

∫ f(x(t)) ·(dx/dt) dt  = ∫ t^-1/2 dt = 2t^1/2 + k

Når vi ved beregningen af det bestemte integral skal indsætte grænser, ændres de oprindelige grænser a = 1 og b = e til t(a) = t(1) = ln(1) = 0, og t(b) = t(e) = ln(e) = 1 .