Matematikaflevering -Sæt 7

Opgave 6.003 – Vejledende eksempler på eksamensopgaver i matematik.

En virksomhed fremstiller en vare. Omkostningerne O(x) ved fremstillingen af x tons pr. uge af denne vare er givet ved:

O(x) = x^3 – 30x^2 – 300x + 30

Hvor O(x) er udtrykt i en møntenhed, som er underordnet i denne forbindelse. Den producerede varemængde kan sælges til en fast pris på 308 pr. ton.

a) Bestem det antal tons, som virksomheden skal fremstille pr. uge, hvis fortjenesten skal være maksimal.

Vi starter med at opstille en ligning for fortjenesten. Fortjeneste er givet ved at trække omkostningerne ved at producere en given mængde fra salgsprisen af samme mængde.

Fortjeneste:308-x3-30x2+500x+30

Så fandt vi f’(x) vha. lommeregner.

x=-29,218 eller x=9,21805

Ligesom i foregående opgave valgte vi nogle tilfældige x-værdier, et lavere end -29,218, et mellem

-29,218 og 9,21805 og et større end 9,21805.

Vi valgte -30, 0 og 10

Vi fandt så f’(x) til disse tre x-værdier og fik

f'-30=-92

f'(0)=808

f'10=-92

Da man ikke kan producere en negativ mængde varer, så må resultatet være positivt. Vi kan se, at hvis resultatet er mere end de 9,21805, så mindskes fortjenesten (fordi hældningen på grafen over fortjeneste falder).

Så for at få den maksimale fortjeneste, skal virksomheden lave: 9,21805 tons

Opgave 6.004 – Vejledende eksempler på eksamensopgaver i matematik

Fra et danbrug udledes ved et uheld spildevand i et vandløb. Dette forårsager et iltunderskud i vandløbet. I en model beskrives iltunderskudet ved funktionen:

f(t) = 97,5*t*e^-0,39 , t - > 0

f(t) = 97,5*t*e^(-0,39*t) = 97,5*t*(e^(-0,39))^t = 97,5*t*0,677057^t

f(t) = 97,5*t*0,677057^t

f'(t) = 97,5[1*0,677057^t+t*ln(0,677057)*0,677057^t]

f'(t) = 97,5*0,677057^t*[1+ln(0,677057)*t]