Parallelle tangenter :S

x2+2x+y2-6y-15=0

(x+1)²-1²+(y-3)²-3²=15

(x+1)²+(y-3)²=5²

centrum (-1,3) radius 5

3x + 4y-7=0

y=(-3x+7)/4

y=-3/4 + 7/4

Hældning -3/4

tangenter i punkterne (-1,3)±(-3,4)*5/√4²+3³ =(2,7) og (-4,-1)

indsætter (2,7) i y=(-3/4)x+b

7=2*(-3/4)+b

b=7+3/2

y=-3/4 x +8 1/2

Cirklen har centrum (-1,3) med radius 5, som fundet af mette i #1.

Linier parallelle med den givne linie l har alle ligninger af formen

3x + 4y + d = 0 , eller på normeret form (da √(3² + 4²) = 5) :

(3/5)x + (4/5)y + d = 0.

Linien gennem cirklens centrum (-1,3) har ligningen

(3/5)x + (4/5)y = (3/5)·(-1) + (4/5)·3 = 9/5 . De to linier, der er tangenter til cirklen og er parallelle med l har afstanden 5 til den netop fundne linie gennem cirklens centrum, så de to tangentligninger er

(3/5)x + (4/5)y = (9/5) + 5 = 34/5   eller    y = -(3/4)y + 17/2    og

(3/5)x + (4/5)y = (9/5) - 5 = -16/5  eller    y = -(3/4)y - 4

                         cirkel:            (x+1)² + (y-3)² = 5²

tangenterne er parallelle med L
dvs
           har normalvektor n = [3,4]  med længden 5

og har
ligningen      3x + 4y + c_1,2 = 0      hvor c er bestemt at tangentens afstand fra centrum (-1,3)

ved brug af afstandsformlen fås

tangent_{1
                                                                   centrum ligger i tangentens
                                                                   ^{positive halvplan regnet}
                                                                   med fortegn efter} n
                                  (3·(-1) + 4·3 + c₁) / 5 = +5
hvoraf
                                   c₁ =  25 + 3 - 12 = 16
dvs
                           t₁:    3x + 4y + 16 = 0 ⇔ y = -(3/4)x - 4

tangent_{2
                                                                   centrum ligger i tangentens
                                                                                         negative halvplan regnet
                                                                                         med fortegn efter} n
                                   (3·(-1) + 4·3 + c₂) / 5 = -5
hvoraf
                                   c₂ = -25 + 3 - 12 = -34
dvs
                           t₂:    3x + 4y - 34 = 0 ⇔ y = -(3/4)x + (17/2)

                                        A_afsnit = A_udsnit - A_trekant

skæringspunkter

                                      ((-31-12√(69))/25 ; (67+9√(69))/25) ((-31+12√(69))/25 ; (67-9√(69))/25)

Find centrum O (-1,3) og tegn cirklen C (r=5)

Tegn linien l [hældning a = -3/4, går gennem fx. (-3,4) og (1,1)]

Tegn linien m vinkelret på l gennem O [hældning 4/3, altså y = 4/3(x+1)+16/3 Formel: y=-1/a*(x-xo)+yo]

Find m's to skæringpunkter med C ved at sætte m = C [Det skulle gerne blive (2,7) og (-4,-1)]

Gennem hvert af disse punkter og med den oprindelige hældning a tegnes de søgte tangenter [Formel y=a(x-xo)+yo]

De hedder : y = - 0,75x + 8,5 og y = -0,75x - 4
=================================
---------------------------------
Hvis vi kalder skæringspunktet mellem l og m for P og røringspunktet for den nederste tangent for B, vil stykket BP være det, man kalder "pilhøjden". P kan findes som skæringspunkt mellem l og m, altså l = m, hvilket giver (-1,24 , 2,68).

BP = (Pythagoras) √((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2) = 4,6

Hvis vi samtidig betegner l's skæringer med C som D og E, kan vi ved hjælp af pilhøjden beregne vinkel DOE, som vi kalder v. Formel: Pilhøjden p = r (1 - cos (v/2)) eller cos (v/2) = 1-p/r =0.92. v/2 = 85,41°.

Arealet bliver da [Formel: A=½*r^2*(v*π/180-sin(v)] = 35,27.

(Prøve: Dette svarer til ca. 45% af cirklens areal.)
 

 del 2:

  afstand mellem skæringspunkterne = kordelængden

                                                 k = 6·√(69)/5 ≈ 9,96795

   sin(b/2) = (k/2) / r = k/(2·5) = 0,996795                          (b for bue i radianer)        (retvinklet trekant)

                                         _radianer
   b = 2·sin^-1(0,996795) = 2,98142   

          
                           A_afsnit^mindste  = (1/2)·(b - sin(b))·r²

                           A_afsnit^mindste  = (1/2)·(b - sin(b))·r² = (1/2)·(2,98142 - sin(2,98142))·25 = 35,2742