Lineær differentialoperator og afbildning

afbildning af C_I(2) ind i C_I(0)? Betyder afbildning af 2 gange kontinuert differentiable funktioner ind i mængden af kontinuerte kontinuerte funktion

En operator er en dims der operer på et eller andet og det resulterer så i et eller andet. Et eksempel er + der operer på to  tal og som resulterer i et tal. Når der står differential foran betyder det at den skal indeholde en differentiation. Et eksempel er de i opgaven givne. Du skal ikke bekymre dig så meget om det. Det er blot et navn.  En lineær differentialoperator skal opfylde betingelsen D(ay₁+b*y₂) = a*D(y₁)+b*D(y₂).

En differentialligning er en ligning, hvor man skal finde en funktion, der opfylder ligningen. Differentialoperatoren tager en funktion som input og leverer en funktion som resultat

Tak for svaret!

mht afbildningen CI(2) ind i CI(0) forstår jeg det ikke helt.

Hvorfor giver man læseren den information med afbildning af CI(2) ind i CI(0). Ville det ikke være nok at fortælle f.eks:

CI(2) er differentiabel og kontuniert i et interval M og så bare skrive:

For alle y værdier tilhørende CI(2): D(y) = y '' + f1(x) * y ' + f2(x) * y ?

mht operatorer:

Og hvis vi angiver en funktion f(x) = 2 * x^2

Og angiver en lineær operator D(y) = 5 * y * f(x)

Så er D(y) bare = 10 * y * x^2  ?

mvh

D er en operator, der virker på en C² funktion y . Da operatoren involverer y' og y'' er D(y) kun en C⁰ funktion

C² er mængden af alle 2-gange differentiable funktioner på intervallet I, mens C⁰ er mængden af kontinuerte funktioner på intervallet I . Operatoren D virker på mængden C² med værdier i C⁰ . For ethvert y ∈ C² er D(y) ∈ C⁰ , nemlig funktionen    D(y)(x) = y''(x) +f₁(x)·y'(x) + f₂(x)·y(x) . Man kan så se på differentialligningen    D(y) = 0 .

Jeg kan simpelthen ikke forstå det...

Hvad betyder det at C² er mængden af alle 2-gange differentiable funktioner på intervallet I ? Vil det sige at C² '' = C⁰ ? Det giver ingen mening for mig. Undskyld. Håber i vil hjælpe mig lidt mere... Måske med et taleksempel eller noget?

Men tusind tak for jeres svar ellers.

#4

C² er betegnelsen for mængden af alle 2-gange differentiable funktioner på intervallet I. Det er en mængde af funktioner. Tilsvarende er C⁰ mængden af all kontinuerte funktioner på intervallet I. Det er også en mængde af funktioner. Der gælder C² ⊂ C⁰ . Symbolet C²'' har ingen mening.

Okay først nu giver det mening for mig hehe...

Det er klart at y ∈C² for at y'' skal være kontinuert og dermed vil D(y) ∈C⁰ og også være kontinuert :)

Jeg havde bare svært ved at forstå at C⁰ var alle kontinuerte funktioner i intervallet I og C² var alle 2 gange differentiable funktioner i intervallet I. Men det giver 100% mening nu...

Mange tak for hjælpen