Skrive formler i prædikatslogik

Hej. Så har jeg eksamener om 2 uger og der er nogle ting og opgaver jeg gerne ville have helt på plads.

1.a)  Bestem en formel α som er sand i netop de fortolkninger hvori domænet D indeholder præcis ét element.

Når domænet skal indeholde kun ét element, har jeg sagt at alle elementerne så må være det samme, altså

AxAy(x = y), hvor A betyder 'for alle'.

1.b)  Bestem en formel α som er sand i netop de fortolkninger hvori domænet D indeholder præcis to elementer.

I denne har jeg kommet frem til AxAyAz(x = y = ¬z)∧ExEy(¬x = y), hvor E betyder 'der findes én'. Men jeg stadig ikke rigtigt overbevist i denne opgave og tror at jeg mangler noget.

2.a) Rusell giver selv følgende variant af sit berømte parakdoks.

"Antag der er en by med kun en enkelt mandlig barber, og at hver mand i byen sørger for at holde sig selv nybarberet: nogen ved at barbere sig selv, noget ved at gå til barberen. Det ser nu ud til at være rimeligt at forestille sig at barberen opfylder følgende regel: han barberer netop de som ikke barberer sig selv."

Forklar kort hvad problemet er ved at have en barber som er defineret ved at barbere netop de som ikke barberer sig selv.

2.b) Lad der være givet en konstant b og et to-plads prædikat B. Lad der desuden være givet en fortolkning

D = alle mænd i byen,

δ(b) = byens barber,

δ(B) = alle par (x,y) hvor x barberer y.

Skriv en formel som udtrykker følgende: barberen barberer netop de som ikke barbarer sig selv.