Matematik

Ligninger

21. april 2005 af Misser (Slettet)

Hej jeg ville høre om der er nogle der vilhjælpe mig med disse to følgende opgaver..

bestem de tal a, for hvilke ligningen
x^2 + ax + a = 0
har mindst én løsning

og så skal jeg løse denne ligning
(logx)^2 + 3*logx - 4 = 0
aner ikke hvordan jeg skal gribe den an

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. april 2005 af allan_sim

#0. Et par hints

1) Hvis en andengradsligning skal have mindst én løsning, så skal diskriminanten være enten 0 eller positiv (hhv. én og to løsninger).

2) Sæt t=log(x). Da ændres din ligning til t^2+3t-4=0. Løs denne og find så x efterfølgende ved at bruge den omvendte funktion til log(x).

Er det hjælp nok?

Brugbart svar (0)

Svar #2
21. april 2005 af Duffy

Her har du resultatet at gå efter

(logx)^2 + 3*logx - 4 = 0

x E {e^(-4), e}

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. april 2005 af holyguy (Slettet)

Misser, hvis du kunne sende mig en mail, så vil jeg gerne svare med et dokument i Word-format, da det er meget mere overskueligt!

_HolyGuy_

Brugbart svar (0)

Svar #4
21. april 2005 af holyguy (Slettet)

Lige for at give dig løsninger, uden fremgangsmåde, da Duffy ikke er kommet frem til det rigtige resultat:

x=10^-4, eller x=10.

Ellers rigtigt nok, Duffy, du skal bare huske at der er tale om log og ikke den naturlige logaritme ln ;)

Løsningen til den første, er at a skal ligge mellem 0 og 4.

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. april 2005 af Duffy

HOLYGUY! - log er skam den naturlige logaritme.

Derfor har vi at

(logx)^2 + 3*logx - 4 = 0

x E {e^(-4), e}

Duffy :D

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. april 2005 af frodo (Slettet)

åh nej.. Ikke den diskussion igen.

engang for alle:

log betegner på gymnasialt niveau titalslogaritmen. Kan ikke gøre for det, men sådan er det! Til at betegne den naturlige logaritme anvendes ln.

Brugbart svar (0)

Svar #7
21. april 2005 af Duffy

Eftersom jeg ikke er på GYMNASIALT NIVEAU er log for mig den naturlige logaritme.

End of story...(?)

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #8
21. april 2005 af frodo (Slettet)

ja, men diskussionen kører sikkert mange gange i fremtiden...

Be aware(!)

Brugbart svar (0)

Svar #9
21. april 2005 af Duffy

#4:

"Løsningen til den første, er at a skal ligge mellem 0 og 4."
NEJ!! HOLYGUY!

bestem de tal a, for hvilke ligningen
x^2 + ax + a = 0
har mindst én løsning

Diskriminanten, D, skal som Allan antyder være >= 0

D = a^2-4*1*a = a^2-4a

D = 0

a^2-4a = 0

a(a-4) = 0

a = 0 v a = 4

...altså skal

a E R\\ ]0;4[ .

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #10
22. april 2005 af holyguy (Slettet)

Da det bliver undervist på gymnasielt niveau, at log betegner titalslogaritmen, mens ln betegner den naturlige, eller napiers logaritme, som en del af pensum, vil jeg argumentere at det retmæssigt kan siges at dette gælder. For ydermere at præcisere og underbygge mit argument, vil jeg tilføje, at den bog "Eksempler på Eksamensopgaver", hvor spørgsmålet er opg. 4.016 i, benytter ln samt log, vil det være naturligt, at ræsonnere, at log betegner titalslogaritmen, om end ikke altid, så i hvert fald for denne specifikke opgave. Det burde afslutte diskussionen indtil videre, i hvert fald for denne ligning.

Og mht. første spørgsmål, så er svaret ikke det, som Duffy skriver i #9, men derimod et lukket interval, altså et interval, der går fra OG MED 0, til OG MED 4. For at demonstrere det for dig, Duffy, så se på følgende udregninger af løsningerne til x^2+ax+a=y. Det er tydeligt, at da der er én dobbeltrod, eller én løsning, som nogle vælger at betegne det, indgår 4 i intervallet for a:

x^2+4x+4=0
(x+2)(x+2)=0
x=-2

Der er tydeligvis en (eller to, afhængigt af definitionen) løsning(er). Det samme gælder for a=0:

x^2=0
x=0, x=0, har tydeligvis en (to) løsning(er)!

Derfor er a inkluderet i intervallet.

_HolyGuy_

Brugbart svar (0)

Svar #11
22. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#10: Mon ikke du burde studere Duffys svar ordentligt? Der står i #9 at læse;

"a E R\\]0;4["

hvilket på ingen måde udelukker a = 0 hhv. a = 4, tværtimod!

Diskriminanten D er ganske rigtigt

D = a^2 - 4a = a(a-4)

for a E R. D opfattet som funktion af a er tydeligvis et konvekst andengradspolynomium, eftersom koefficienten til a er strengt positiv. Heraf indser man, at

D >= 0 <=> a E ]-infty; 0] u [4; infty[

hvilket er nøjagtig det samme som

a E R\\]0;4[

- længere er den ikke.

Jeg har efterhånden svært ved at sætte mig ind i den evindelige diskussion om log og ln, som undertiden dukker op herinde. Traditionelt betegner 'log' den naturlige logaritme til basen e (Napiers logaritme). Det er korrekt, at man flere steder, herunder i gymnasiet lader 'ln' betegne logaritmen til basen e, mens 'log' er reserveret logaritmen til basen 10 ('titalslogaritmen'). Men det er mig svært begribeligt, hvorfor det gentagne gange skal ende i den samme diskussion om, hvilken logaritme, der nu engang må være tale om. Man kunne blot skrive, hvad løsningerne til et foreliggende problem er, hvis der er tale om den naturlige logaritme hhv. titalslogaritmen.

Finder man imidlertid dette for tidskrævende, så er et oplagt alternativ at markere logaritmens base;

log_10
log_e

og så fremdeles. Sværere er det vitterlig ikke at rydde enhver tvivl af vejen.

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #12
22. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#11:

koefficienten til a -> koefficienten til a^2

//Singularity

Brugbart svar (0)

Svar #13
22. april 2005 af Duffy

Jah, det ER en evindelig diskussion.
Årsagen hertil er som jeg ser det
gymnasiets brug af lommeregnere (TI-XX)med
"knapper" hvorpå der står hhv

"LOG" & "LN"

og de dækker da ganske rigtigt
de omtalte forskelle.
[Mon ikke uvm har aktier i TI??!]

Så hver gang der dukker en håbefuld
"praktikant" op herinde vil vi skulle høre den samme sang.
Og med god ret for det er jo hele hans verden og ve den der rokker ved hans gude-tro om ln og log.
Men han er lovligt undskyldt for han ved jo ikke bedre.

Duffy

Brugbart svar (0)

Svar #14
22. april 2005 af allan_sim

#13. Jeg tror nu næppe, at det er Texas Instruments' skyld, at log(x) i gymnasieverdenen skal forstås som titalslogaritmen. Den tradition har eksisteret også før lommeregnere var almindelige i den danske gymnasieskole, og den er udbredt også uden for landets grænser.

Pointen er, at diskussionen er ufrugtbar. Der er forskellige traditioner, og længere er den ikke.

I mine øjne yder man mest kvalificeret hjælp, hvis man ser på spørgerens uddannelse og derefter i sit svar tager udgangspunkt i, hvad traditionen foreskriver på pågældende uddannelse - eller man gør opmærksom på, hvad man forstår ved log. Det forkromede overblik må hvile på svarerens skuldre - ikke spørgerens.

Svar #15
23. april 2005 af Misser (Slettet)

>Okay..TUSIND TAK for hjhælpen alle sammen...men jeg forstår ikke helt den med (logx)^2 + 3*logx - 4 = 0
fir hvad er det egentlig man skal gøre..

Brugbart svar (0)

Svar #16
23. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#15: Observér først, at

(log(x))^2 + 3*log(x) - 4 = 0

er en andengradsligning i log(x). 'Standardmetoden' til løsning af en sådan ligning er substitution. Vi sætter

t = log(x)

og løser ligningen

t^2 + 3t - 4 = 0

på vanlig vis. Kontrollér selv, at det giver løsningerne

t = -4 hhv. t = 1

Derfor skal vi løse ligningerne

log(x) = -4
log(x) = 1

Hvis 'log' betegner logaritmen til basen 10 ('titalslogaritmen'), har vi

x = 10^(-4) v x = 10

og omvendt, hvis 'log' betegner logaritmen til basen e ('den naturlige logaritme'), har vi

x = e^(-4) v x = e

//Singularity

Svar #17
23. april 2005 af Misser (Slettet)

Okay..MANGE TAK..det gav mig den rette forståelse af opgaven

Skriv et svar til: Ligninger

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.