Funktion, punktmængde og areal

Bare bestem integralet af f(x) (som den er givet i opgaven) i intervallet [-2;2].

a) Beregn det bestemte integral _-2∫² f(x) dx til bestemmelse af arealet af M.

Det vil sige= 16 - 13 * 4 + 36= 48?

Jeg har indsat -2 på x⁴ og indsat 2 på: 13 * 2² 

Er dette rigtigt? 

 Du skal have gang i integralregning, idet arealet mellem grafen for f og x-aksen kan bestemmes som summen af  integralerne i de tre intervallet mellem grafens rødder, - du kan ikke integrere "i et hug" fra venstre rod til højre rod, da de dele, der ligger under x-aksen da vil blive opfattet som negative værdier, der bliver trukket fra det areal, der er over x-aksen

I stedet for sætter du et lille minus foran integraltegnet, når grafen ligger under x-aksen mellem grænserne for integralet, derved kommer arealet ud som positivt

M = -∫_-3^-2f(x)dx +∫_-2²f(x)dx - ∫₂³f(x)dx

håber det hjalp

∫²_-2 f(2)= 16 - 13 * 4 + 36= 48???

Ja, tak for hjælpen indtil videre : - )

M = -∫^-2_-3f(x)dx + ∫_-2² f(x)dx - ∫₂^3f(x)dx

Overstående er vel ikke arealet af M. Hvordan udregner man M ud af dette store regnestykke? 

#4 Arealet afgrænses af x-aksen i første og anden kvadrant - er derfor udelukkende positivt.

#5 ∫_-2²f(x) dx = [F(x)]_-2² = F(2) - F(-2) , hvor F(x) er en stamfunktion til f(x). Giver det mening?

#4

Opgaven taler om arealet af den punktmængde, der afgrænses i 1. og 2. kvadrant. Der er derfor kun tale om integralet fra -2 til 2.

 #8 ja det er rigtigt, jeg må have læst indenad, idet det ville være en fin lille snydeopgave at skulle finde arealet mellem grafen og x-aksen

Nå, det gør det da lidt nemmere :-)

Jeg er lidt forvirret om et entydigt svar?

Var dette den rigtige fremgangsmåde og det rigtige resultat?

∫_-2²f(x)dx=  [F(x)]_-2² = F(2) - F(-2)  

Er resultatet så 2 - -2= 0?????

Skal 2 ikke indsættes på x plads?

 #10

2 og -2 skal indsættes på x's plads i stamfunktionen til f

F(2) - F(-2) = arealet 

∫²_-2f(2)dx= [F(-2)]-_-2² = F(2) - F(-2)= 0

Nu har jeg indsat 2 og -2 på x's plads. Har jeg gjort det korrekt nu? 

#12

Du skal benytte, at

f(x) = x⁴ - 13x² + 36

og at F(x) er en stamfunktion til f(x) . Du skal først bestemme F(x), og der gælder ikke, at F(2) = F(-2), som du flere gange har påstået.

Beregn nu

_-2∫² f(x) dx = F(2) - F(-2)

Jeg skal jo indsætte en værdi for x. Jeg har hele tiden troet, at det var 2 og -2. Jeg ved ikke, hvad værdien for x er og jeg er derfor usikker på, hvordan man skal regne den ud.

Hvordan skal jeg helt præcist skal jeg benytte dette og hvordan skal jeg indsætte det i forhold til integralregning?

f(x) = x⁴ - 13x² + 36

 Nej, der er ét eller andet, du fuldstændigt har misforstået.

Du har funktionen f(x) = x⁴ - 13x² + 36

og du skal bestemme arealet af den punktmængde M, der afgrænses af grafen for f samt førsteaksen i 1. og 2. kvadrant
hvilket af oplysningerne kan bestemmes som intervallet [-2 ; 2]

For overskuelighedens skyld bestemmes stamfunktionen F(x) til f(x) først (det er nemlig stamfunktionen, der skal bruges til bestemmelse af arealet af punktmængden M

F(x) = ∫f(x)dx = ∫ x⁴-13x²+36 dx = (1/5)x⁵-(13/3)x³+36x +k   (hvor k er integrationskonstanten)

Dernæst bestemmes integralet (=arealet) som M = F(2) - F(-2)
(da det i virkeligheden drejer sig om et bestemt integrale, undlades integrationskonstanten k)

M = ((1/5)·2⁵-(13/3)·2³+36·2) - ((1/5)·(-2)⁵-(13/3)·(-2)³+36·(-2)) = 1312/15 ≈ 87,47

Normalt vil man skrive det således:

Mange tak for hjælpen, det hjalp meget.

Men hvad er M? Jeg kan godt se dine udregninger: Sådan som jeg har forstået det er M= 87,47.

Er det stykke, hvor du har fået 87,47 det samme, som din sidste udregning bare skrevet lidt pænere. Så den sidste udregning burde altså også give 87,47. Du har = tegn, men intet svar? Dette forvirrer mig.

Du har skrevet regn selv videre. Jeg ved godt du har, hjulpet rigtig meget, men jeg forstår ikke, hvordan den sidste del komme til at se ud. Håber fortsat på hjælp. Jeg prøver, men jeg synes det er svært...

Jeg forstår ikke, hvorfor jeg ikke må se den sidste del, hvis jeg ved resultatet giver 87,47.

Du har stadigvæk ikke svaret på om resultatet skal blive 87,47???

#17

Resultatet bliver M = 1312/15, som angivet af pvm i #15. Der er også angivet en stamfunktion F(x) til f(x), så det eneste, du skal gøre, er at indsætte og kontrollere:

M = F(2) - F(-2) = ...

Det er den sidste del du hentyder til går jeg ud fra. Jeg går ud fra resultatet bliver 87,47 i den sidste bid, jeg ved ikke om der er et regnestykke før det. Det er så vidt jeg har forstået det.

#19

Det præcise resultat er 1312/15 , ikke det tilnærmede 87,47 . I #15 ville pvm blot have dig selv til at gøre udregningen færdig.