Dobbeltintegraler

Hvis du kan vedlægge dokumentet i .doc format, er der flere, der kan hjælpe.

Den skulle gerne være opdateret. Hvis ikke, så får du den her.

Prøv at konverter din fil til pdf. Jeg kan nemlig ikke se dine udregninger.

Benyt, at en stamfunktion til ln(x) er ∫ ln(x) dx = x·ln(x) - x , så vi får

I₁ = ₀∫^3,75 ₁∫^√(16-4y) ln(x) dx dy = ₀∫^3,75 [x·ln(x) -x]^√(16-4y)₁ dy

    = ₀∫^3,75 ((1/2)√(16-4y)·ln(16-4y) - √(16-4y) +1) dy

Jeg har ikke lige tid til at gennemregne integralet, men en oplagt substitution er u = 16-4y

Jeg får et andet udtryk til sidst. Hvordan kommer jeg af med den sammensatte funktion som jeg ender med? Eller ville du substituere med det samme?

#5

Dit udtryk er det samme som mit udtryk i #4, bortset fra at det skal være +1, ikke -1 som det sidste led i parentesen. Jeg benyttede, at ln(√(16-4y)) = (1/2)·ln(16-4y) . Sætter man u = 16-4y, fås du = -4dy , dy = -(1/4)du , så vi får

I₁ = -(1/4)·₁₆∫¹ ((1/2)(√u)·ln(u) - (√u) + 1) du

Ja, det har du helt ret i. Er det en regel du bruger, at: ln(√(x)) = (1/2)·ln(x)?

Logaritme regl:

ln(x^a)=aln(x), hvor a=½ i dette tilfælde.

Jeg forstår ikke helt, hvorfor du ændrer ved grænserne. Jeg har ikke lært at substituere på den måde. Vi plejer at holde grænserne som de altid har været, men vi husker også at tilbage-substituere bagefter. Kan man ikke på den måde?

#9

Nå man skifter variabel i et bestemt integral, skal man også ændre grænserne. Grænserne angiver jo det interval for integrationsvariabelen, over hvilket integralet skal beregnes.

Ja, men når man tilbage-substituerer, så behøver man jo ikke at ændre grænserne, eller behøver man?

#11

Der er jo ingen grund til at tilbagesubstituere. Det benytter man, nå man bruger substitution til at finde en stamfunktion. Her drejer det sig om at beregne et bestemt integral. Uanset om man tilbagesubstituerer eller ej, skal integralets grænser passe til den variabel, der integreres efter.

Fint.

Har du tid til at forklare, hvordan vi kommer fra ₀∫^3,75 til ₁₆∫¹?

#13

Via substitutionen u = 16-4y . u(y=0) = 16 , u(y=3,75) = 16 -4·3,75 = 1.

Så det er sådan man finder den nye grænse.

Eksempelvis, når man har substitueret med u(x), så sætter man hhv. den laveste værdi for x eller y (fra den forrige grænse) og derefter den højeste værdi, for at finde de nye grænser?

I så fald, hvordan finder man de nye grænser, hvis substitutionen ikke har en variabel i sig (blot et tal)?

Når du substituerer skal du passe på integralgrænserne. Disse værdier skriftes naturligvis. :) 

Det viser Andersen ganske fint. 

#16

Du kan ikke substituere til et tal. Substitutionen u = u(y) repræsenterer et variabelskift, og det er jo vigtigt, at den nye variabel er variabel. Det er også vigtigt, at substitutionen er injektiv, dvs at du/dy har konstant fortegn og ikke er 0 . Kan man ikke opnå det, må man dele integrationsintervallet op i delintervaller, hvori du/dy har konstant fortegn.

For at gøre integralet i #6 færdigt, har vi

I₁ = -(1/4)·₁₆∫¹ ((1/2)(√u)·ln(u) - (√u) + 1) du

   = (1/4)·₁∫¹⁶ ((1/2)(√u)·ln(u) - (√u) + 1) du ,  (benyt nu substitutionen t = √u , u = t₂, du = 2t·dt )

   = (2/4)·₁∫⁴ (t·ln(t) -t +1)·t dt

   = (1/2)·[ (t³/3)·ln(t) -t³/9 -t³/3 + t²/2 ]⁴₁

   = (1/2)·( (4³/3)·ln(4) -(4/9)·4³ +4²/2 + 4/9 - 1/2) = (64/3)·ln(2) - 41/4 ≈ 4,53714

ln2 kan ved ordnet summation bestemmes ln2=1 - 1/2 + 1/3 - ...