Differentiering af: x(t)=Ae^(-at) cos⁡(b*t-δ)

Hvad står der i kvadratet eller ? ? Brug reglen for differentiation af et produkt.

 kvadratet?

#2

I din overskrift står der x(t)=Ae^(-at) cos?(b*t-δ)

og mellem cos og parentesen ser jeg blot et tomt kvadrat. I teksten i #0 er der i stedet et spørgsmålstegn. Jeg spørger til, hvordan funktionen ser ud.

 Der skal intet være mellem cos og parantes

x(t)=Ae^(-at) cos?(b*t-δ)

 Forstår ikke hvorfor spørgsmålstegnet kommet frem. Det står der ikke før jeg opretter det som svar.

#5

Så funktionen er

x(t) = A·e^-at·cos(bt - δ)      ?

Så benyt reglen for differentiation af et produkt og for en sammensat funktion.

 Det kan godt være jeg er dum nu. Men jeg forstår det ikke. :(

#7

Hvis det er funktionen, som skrevet i #6, benytter vi reglen for differentiation af et produkt :

(f(t)g(t))' = f'(t)g(t) + f(t)g'(t), og får

x'(t) = (A·e^-at)'·cos(bt - δ) + A·e^-at·(cos(bt - δ))'

       = -a·A·e^-at·cos(bt - δ) - b·A·e^-at·sin(bt - δ) , og

x''(t) = a²·A·e^-at·cos(bt - δ) +ab·A·e^-at·sin(bt - δ) + ab·A·e^-at·sin(bt - δ) -b²·A·e^-at·cos(bt - δ)

       = (a² - b²)·A·e^-at·cos(bt - δ) + 2ab·A·e^-at·sin(bt - δ)

 tusind tak for hjælpen

 ud fra dette skal denne ligning udregnes: m*x´´(t)+c*x´(t)+k*x(t)=0

Nogen der evt har nogle tips og tricks til hvordan men bedst gør det? 

#10

Dvs., du antager en løsning af formen #6 og indsætter den i differentialligningen. Så får du en identitet, der skal være opfyldt for alle t:

m·(a² - b²)·A·e^-at·cos(bt - δ) + m·2ab·A·e^-at·sin(bt - δ)

-c·a·A·e^-at·cos(bt - δ) -c·b·A·e^-at·sin(bt - δ)

+k·A·e^-at·cos(bt - δ) = 0      (hele ligningen fylder de 3 linier)

Så får vi

[m·(a² - b²) -c·a +k]·A·e^-at·cos(bt - δ) + [m·2ab -c·b]·A·e^-at·sin(bt - δ) = 0 , hvoraf aflæses

m·(a² - b²) -c·a +k = 0        og           m·2ab -c·b = 0 , dvs

(b = 0 ∧ m·a² -c·a +k = 0) ∨ (2a·m = c ∧ k = m·(a² + b²) ) , dvs

(b = 0 ∧ a = (c±√(c² -4mk))/(2m) ) ∨ (a = c/(2m) ∧ b² = (k/m) -c²/(4m²) )