Matematik

To lette mat opgaver

25. april 2005 af Mads123 (Slettet)

1. En funktion f er bestmt ved
f(x) = x + ln(x), for xER+

Gør rede for, at f har netop ét nulpunkt.
Her fik jeg at vide det var pga f var kontinuær og voksende, men altså jeg kan stadig ikke se, hvorfor f så har netop et nulpunkt. SKAL man have et kendskab til ln(x) for ellers kunne jeg da godt tro der ingen nulpunkter er.

Er lige skiftet emne, så har problemer med en opgave som jeg tror er meget let. Ved bare ikke hvordan den skal løses.

2. En stokastisk variabel X er givet ved
(t;P(X=1))|(2;0,2)|(4;0,4)|(6;a)|(b;0,1)

Bestem tallene til a og b så middelværdien af X bliver 4,7.
Bestem spredningen af X.
Tror kun det er den første del af opgaven der er svær.

Håber nogle lige kan give et tip.

Brugbart svar (0)

Svar #1
25. april 2005 af Duffy

Svar #2
25. april 2005 af Mads123 (Slettet)

hmm så man skal have kendskab til ln(x). Jeg har skrevet "UDfra kendskab til funktionen ln(x) ved vi at den har nulpunkt i x=1 og at ln(x)-> -uendeligt fpr x->0+. Da f er differentiabel (og dermed kontinuært) og kun voksende i sin definitionsmængde, har vi redegjort at der netop kun er èn løsning.". Lyder det ikke fornuftigt? Er lidt usikker om jeg skal bruge det med grænseværdier.

Noget andet jeg lige tænkte over, var om der menes en funktion er differentiabel, hvis man kan tage den afledte funktion af den?

Brugbart svar (0)

Svar #3
25. april 2005 af Duffy

1. En funktion f er bestmt ved
f(x) = x + ln(x), for xER+

Gør rede for, at f har netop ét nulpunkt.

Du skal ignag med en standard funktions-undersøgelse.

Altså noget med at lave fortegnslinier for f og f'.

Du kan ikke ræsonnere som du gør, for hvad hvis det var en funktion som fx

f(x) = 2 - x + ln(x), for xER+

den er også kontinuErt differentiabel,
men har 2 nulpunkter....og opfører sig "mærkeligt"

Duffy

Svar #4
25. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Sry det er min fejl. Det er bare fordi i en af del opgaverne før, skal man vise at funktionen er voksende. Og da jeg har vist at funktionen er voksende i hele definitionsmængden, gælder min redegørelse så?

Brugbart svar (0)

Svar #5
26. april 2005 af Duffy

Jah, hvis du skriver

f(x) = x + ln(x), x E R+

f'(x) = 1+1/x , x E R+

det ses let at f'(x)>0 for x E R+

altså er f voksende i hele sin definitionsmængde.

Duffy

Svar #6
26. april 2005 af Mads123 (Slettet)

Jep, så er vi enige.

2. Tror jeg er ved at få fat i det. Skal jeg bare bruge lineær kombination, altså jeg har to ubekendte og så først isolere den ene og sætte det udtryk ind i det andet. Eller er der en lettere måde?

Jeg siger
(2*0.2 + 4*0.4 + 6*a + b*0.1)/(12 + b) =4.7
Og isolere a. Hvordan isolere man a uden brug af computer? Ved ikke om jeg skal regne med led først eller faktorer.

Det giver a= .766667*b + 9.06667

(2*0.2 + 4*0.4 + 6*(.766667*b + 9.06667) + b*0.1)/(12 + b) =4.7

b=-10. og så finde a.

Er alt dette rigtigt og er der nogle der kan forklare hvordan man isolere i de to ligninger?

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. april 2005 af allan_sim

#6. Du ved, at summen af dine sandsynligheder skal give 1. Dvs.

0,2 + 0,4 + a + 0,1 = 1

Heraf findes a. Du bruger så vægtet gennemsnit for at finde b med det a, du lige har fundet:

2*0,2 + 4*0,4 + 6*a + b*0,1 = 4,7

Isoler b heri.

Når a og b er fundet, kan spredningen findes på normal vis.

Brugbart svar (0)

Svar #8
26. april 2005 af Epsilon (Slettet)

Mads,

Til det første spørgsmål er det ikke tilstrækkeligt at bemærke, at f er voksende og kontinuert. Eksempelvis er den naturlige eksponentialfunktion (strengt) voksende og kontinuert, men den har ikke desto mindre ingen nulpunkter.

Vi behøver dog blot at observere, at

f(1/2) = 1/2 - ln(2)
f(1) = 1 + ln(1) = 1 > 0

Da f er kontinuert, sikrer mellemværdisætningen, at der eksisterer et reelt tal s E ]1/2 ; 1[, således at

f(s) = 0

Så f har et nulpunkt, s. Endvidere er f kontinuert differentiabel med afledet

f'(x) = 1 + 1/x, x E R+

Da f'(x) > 0 for alle x, er f strengt voksende. Dermed har f præcis ét nulpunkt.

//Singularity

Svar #9
26. april 2005 af Mads123 (Slettet)

#7 ahhh ja, selvfølgelig! Hvis nogle har lyst må de stadig gerne prøve at isolere den ligning i #6 da jeg tit, synes jeg mangler hvordan jeg gør i sådan en ligning.

"...men den har ikke desto mindre ingen nulpunkter." :S hvis jeg tegner ln(x) er der da et nulpunkt.

Er mine argumenter i #2 ikke gode nok? Der siger jeg at ln(x) har ét nulpunkt i x=1 og at funktionen kun er voksende.

Altså hvis jeg ved at ln(x) har nulpunkt for x=1 så er der vel ingen grund til at skrive "f(1/2) = 1/2 - ln(2)
f(1) = 1 + ln(1) = 1 > 0
", da "+1" kun rykker på grafen.

Er det ikke det samme vi argumenterer for, dit bare mere præcist?

Q's:
Mellemværdisætningen. Hvad bruges den til?
"Så f har et nulpunkt, s. Endvidere er f kontinuert differentiabel med afledet" Er en funktion kontinuert hvis man kan tage den afledte funktion af f? (har aldrig rigtigt forstået det).

Brugbart svar (0)

Svar #10
26. april 2005 af Epsilon (Slettet)

#9: Det er ikke den naturlige logaritmefunktion, hvortil jeg henviser, men derimod den naturlige eksponentialfunktion, exp(x).

Dine argumenter i #2 er ikke helt præcise nok. Du er nødt til at gøre rede for, at f er positiv såvel som negativ i et interval, og at f derfor har et nulpunkt, fordi f er kontinuert.

Formelt set bruger vi Mellemværdisætningen;

'Hvis f:[a,b] -> R er kontinuert og d er et reelt tal mellem f(a) og f(b), så eksisterer der et reelt tal s E ]a;b[, således at f(s) = d'

med a = 1/2, b = 1 og d = 0.

"Er en funktion kontinuert hvis man kan tage den afledte funktion af f?"

Ja, hvis f er differentiabel, så er f kontinuert.

Betegnelsen "kontinuert differentiabel" betyder, at f er differentiabel med kontinuert afledet (læs: f' eksisterer og er kontinuert).

//Singularity

Skriv et svar til: To lette mat opgaver

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.