Side 2 - Ledvis integration - Matematik

Brugbart svar (0)

Svar #21
27. april 2005 af 404error (Slettet)

Ja, det ser udmærket ud. Jeg kan desværre ikke give dig nogen onlinereference til sætningen inklusive bevis. Hvis du kommer forbi biblioteket, så find følgende bog

Apostol, Tom (1974): Mathematical Analysis, 2nd edition, Addison Wesley

og se på Thm. 9.8, side 225. Ellers kan det være, at det faktisk er meningen med opgaven, at du skal vise sætningen? Den er nem, hvis du bruger (ii) på side 3 i de noter, du henviste til - samt definitionen på ligelig konvergens.

Svar #22
27. april 2005 af Export (Slettet)

Okay, det lyder sørme godt! Mange tak!

Mht. Spørgsmål (c), kan jeg så ikke bare skrive, at ved brug af helt samme argumentation som i Spørgsmål (b), er det muligt at lave ledvis integration? Og så ellers bare regne løs ...

Hvad angår Spørgsmål (d), kan du så se om jeg er på rette vej i #10? I givet fald, gider du så give mig et hint, så jeg kan komme videre?

Brugbart svar (0)

Svar #23
27. april 2005 af 404error (Slettet)

Jo, men du bør lige overbevise dig om, at konvergensradius også er uendelig her for at det går godt. Brug Weierstrass M-test.

I (d) synes det nemmest at arbejde med en stamfunktionen til f. Brug så den repræsentation du har udledt i (b) til at vise, at stamfunktionerne er ens (pånær en konstant).

Svar #24
27. april 2005 af Export (Slettet)

Til (c): Okay, det burde ikke være det store problem.

Til (d): Jeg kigger på det, og så vender jeg tilbage i morgen; enten med (dumme) spørgsmål eller en besvaret opgave.

Svar #25
27. april 2005 af Export (Slettet)

Jeg har siddet og bøvlet længe med det, og det eneste jeg har fundet ud af er, at hvis jeg kan få vist, at

\\sum_{n=0}^\\infty \\frac{(n+1)^2}{n!}x^n = (x^2+3x+1)e^x,

så følger det ønskede umiddelbart. Jeg har også prøvet at gøre som du foreslog i #23, og så jeg har fundet, at

\\int (x^2+3x+1)e^x dx = x(x+1)e^x + C,

hvor C er en reel, arbitrær konstant. Nu ved jeg så bare ikke rigtig, hvordan jeg skal komme videre herfra.

Brugbart svar (0)

Svar #26
27. april 2005 af 404error (Slettet)

Ja, og du ved desuden at

int_0^x f(t)dt = x*(sum (n+1)/n!*x^n).

underforstået at vi summerer over n fra 0 til uendelig. Summen i ovenstående kan du skrive

sum (n+1)/n!*x^n = sum(1/n!*x^n)+sum(n/n!*x^n).

Prøv nu at skrive lidt om på det - og du vil se, at det faktisk stemmer med det, du har skrevet til sidst i #25.

Svar #27
27. april 2005 af Export (Slettet)

Jamen dog, der kan man bare se ... Jeg kan bare ikke lige se hvorfor

\\sum_{n=0}^\\infty \\frac{n}{n!}x^n = xe^x,

hvilket vist er det eneste jeg mangler at vise.

Brugbart svar (0)

Svar #28
27. april 2005 af 404error (Slettet)

Ja, og det gælder netop hvis

sum(n/n!*x^n) = x*sum(1/n!*x^n).

Det er ret nemt at indse, at ovenstående gælder - det er blot et spørgsmål om at indse, hvad der egentlig står på venstresiden.

Svar #29
27. april 2005 af Export (Slettet)

Øhhh ... ja, det er jo lige det der er mit problem.

Brugbart svar (0)

Svar #30
27. april 2005 af 404error (Slettet)

Rent undtagelsesvis får du løsningen:

sum(n/n!*x^n,n=0..infty)=

sum(n/n!*x^n,n=1..infty) =

x*sum(n/n!*x^(n-1),n=1..infty) =

x*sum(1/(n-1)!*x^(n-1),n=1..infty) =

x*sum(1/n!*x^(n),n=0..infty) =

x*exp(x).

Svar #31
27. april 2005 af Export (Slettet)

Fantastisk! Det tror jeg ikke selv, jeg havde fundet på -- mange tak for hjælpen!

Svar #32
29. april 2005 af Export (Slettet)

For ikke at bruge unødig plads, skriver jeg bare videre i denne tråd, da det nogenlunde handler om det samme som ovenfor:

Jeg skal vise, at funktionen f:[-1,1] -> C, hvor

f(x) = \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}
= x^2 \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{x^n}{(n+1)(n+2)},

har differentialkvotienten

f'(x) = -\\ln(1-x),

for x på intervallet ]-1,1[. I et eksempel i vores lærebog har vi, at

-\\ln(1-x) = \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{x^{n+1}}{n+1},

men hvis jeg differentierer f(x) ledvist (jeg har kontrolleret, at konvergensradius er okay), får jeg

f'(x) = x^2 \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{x^{n-1}n}{(n+1)(n+2)}
= \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{x^{n+1}n}{(n+2)(n+3)}.

Hvis bare jeg i den sidste omskrivning skulle have faktorerne i nævneren til at "gå 1 ned i værdi", altså

(n+1)(n+2) --> n(n+1)

i stedet for

(n+1)(n+2) --> (n+2)(n+3),

så ville opgaven jo være løst. Jeg håber derfor at jeg bare har lavet en dum regnefejl, og at en eller anden gider hjælpe mig med at løse opgaven (korrekt!).

Brugbart svar (0)

Svar #33
29. april 2005 af 404error (Slettet)

Hvorfor vil du lave omskrivningen

f(x)= x^2 \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{x^n}{(n+1)(n+2)}?

Det er nemmere at arbejde direkte med den oprindelige række.

Svar #34
29. april 2005 af Export (Slettet)

Fordi i sætningen i bogen, da summer de fra n=0 til uendelig, og ikke fra n=1 (jeg ved godt at man goså kan regne på det når det er fra n=1.

Brugbart svar (0)

Svar #35
29. april 2005 af 404error (Slettet)

Ja, men med din omskrivning gør du ikke tingene lettere for dig selv. Identiteten

-\\ln(1-x) = \\sum_{n=0}^\\infty \\frac{x^{n+1}}{n+1}

kan du ligeså vel skrive

-\\ln(1-x) = \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{x^{n}}{n}.

Så bør opgaven vist være en smal sag.

Svar #36
29. april 2005 af Export (Slettet)

Det var dælme flot af mig (eller noget), at jeg ikke selv så det. Takker!

Svar #37
29. april 2005 af Export (Slettet)

Jeg skal i grunden også gerne have vist, at

\\sum_{n=1}^\\infty \\frac{x^{n+1}}{n(n+1)}
=(x-1) \\sum_{n=1}^\\infty \\frac{x^n}{n} + x,

men jeg kan ikke rigtig komme i gang.

Brugbart svar (0)

Svar #38
29. april 2005 af 404error (Slettet)

Omform de mange summer til et udsagn om den oprindelige funktion f og dens afledede. Det kræver blot, at du finder f - det er ikke svært.

Svar #39
29. april 2005 af Export (Slettet)

Det glemte jeg så lige at fortælle, men formålet med at vise uligheden ovenfor er netop at finde et udtryk for f (jf. Spørgsmål (d) i Opgave 3 på http://www.imf.au.dk/kurser/matanalyse2/F05/ugesedler/us5.pdf).

Svar #40
29. april 2005 af Export (Slettet)

hmmm ... ligheden, ikke uligheden!