Et legemes omdrejning om y-aksen

Benyt integrationsreglen ∫ xⁿ dx = (1/(n+1))·xⁿ⁺¹ + k

S = (5/3 * x² - 10/3 * x)dx = 5/9 * x³ - 5/3 * x² =

5/9 * x² * (x - 3)

2π * ₂[S]⁵ = 60π

Hun siger det ikke giver mening, da der ikke står xⁿ (x¹ dog) men derimod x*((5/3)x-3,333) dx.

#3

Det var jo en generel formel, som så skulle bruges med et specifikt n for hvert af leddene i integranden. Men se nu løsningen i #2.

Hun siger: #2 giver rigtig fin mening.

Mange tak for jeres hjælp, nu slipper jeg for at høre på hendes brok.

#5

Du kan så overveje, om det var en bedre hjælp at få den færdige løsning serveret på et fad, eller at få lidt hjælp ad gangen, der skulle få dig/hende til at tænke lidt selv over opgaven? Men jeg selvfølgelig godt se, at du havde andre planer med aftenen.

#6

Hun fandt ud af det selv, og hun fandt endda et resultat som er langt fra det opgivet i #2. Så kan man jo spørge sig selv hvad der er mest korrekt.

Hun skal finde ud af mængden af vand i et vandtårn som er formet som en keglestub.

Hun vælger at partiel integrere med

[(((5/3x^3)/2)-((5/3x^3)/6))]₂⁵=(((5/3*5³)/2)-((5/3*5³)/6))-(((5/3*2³)/2)-((5/3*2³)/6))

=65*2∏

= 408,4067 m^3 (som er -en del- af vandtårnet), herefter beregnes vandtårnet som en cylinder med Y=10, og dette resultat trækkes herefter for cylinderen. (af hvad jeg har forstået).

= 1570,798-408,4067 = 1162,39241 m^3

Jeg glæder mig til at få integralregning, der går desværre omtrent 3 måneder, men så er det jo godt at jeg kan kigge efter i hendes papirer.

Efter lidt snak frem og tilbage er vi blevet enige om at dette svar ikke kan være gyldigt.

Opgaven:

Hjælp Orla Von Thurnundtaxis med hans beregninger:

Opgave 1. Beregn hvor meget vand ingeniør Hansens vandtårn kan rumme. Tårnets vandbeholder er konstrueret som en regulær firesidet pyramidestub med indre mål som det fremgår af fig. 1:

R=5 meter

r=2 meter

h=5 meter

Ved brug af keglestubformlen fås:

204,2035 m^3

Nogle der kan forklare hvad der er gjort galt?

#7

Det er svært at fastlægge geometrien præcist, når vi ikke har figuren til rådighed. Jeg går ud fra, at der er tale om en pyramidestub med kvadratiske grundflader, med sidelængde R = 5m i bunden og r = 2m og med afstanden h = 5m mellem de to kvadratiske flader. Kalder vi højden i den afskårede top for h1, har vi af et par ensvinklede trekanter

h₁/(h₁+5m) = (2m/2)/(5m/2) = 2/5 , hvoraf

5h₁ = 2(h₁+5m) = 2h₁ + 10m , eller

h₁ = 10m/3

Pyramidestubbens rumfang er da

V = (1/3)(h₁+5m)·R² - (1/3)·h₁·r² = 125m³/3 + (1/3)·h₁·(25-4)m² = 125m³/3 + 7m²·10m/3 = 65m³

Da opgaven taler om en pyramidestub, skal man ikke bruge formler for en keglestub.

#7

Hvis der i stedet er tale om en keglestub med radier R=5m og r=2m og højde h=5m, og kaldes højden i den afskårede kegle for h₁, fås igen af et par ensvink;ede trekanter, at

h₁/(h₁+5m) = 2m/5m = 2/5 , hvoraf

h₁ = 10m/3    (se #8)

Keglestubbens rumfang er så

V = (1/3)πR²·(h₁+5m) - (1/3)πr²·h₁ = 65·πm³ = 204,2035m³

Det vil være en fordel at formulere hele opgaven fra starten.

# 8

- Hvorfor ikke bare:

G = 25
g = 4
h = 5

V = 1/3 * h * (G + g + √(G*g) = 65 m³

# 9

- Og tilsvarende:

R = 5
r = 2
h = 5

V = 1/3 * π * h * (R^2 + Rr * r^2) = 65 * π

Hvad er nytten af de ensvinklede trekanter etc. - ?

#10 - #11

Ja, det fungerer perfekt sådan, som du har gjort det, uden ensvinklede trekanter. Brugen af de ensvinklede trekanter kommer ind, når man, som jeg, ikke lige har de færdige formler for stubbenes rumfang ved hånden eller i hovedet. Så er de ensvinklede trekanter jo vejen til at udlede dem eller til at finde rumfanget.