Matematik

overflade af en cylinder

11. januar 2011 af lilromeo (Slettet) - Niveau: B-niveau

Hej alle sammen!

Jeg har haft meget besvær med denne opgave og håber, at der er nogen, som på en meget pædagorisk måde kan forklare mig, hvordan jeg skal løse den. Her kommer det:

En beholder skal kunne rumme 20 dm^3. Den er sammensat af en cylinder med en bund og en halvkugleflade, som har samme radius som cylinderen. Overfladen O(x) (dm^2) for beholderen som funktion af cylinderens radius x(dm) er givet ved O(x) = 13/3 pi x^2 + 40/x.

Det jeg skal gøre er, at bestemme overfladen, når radius i cylinderen er 2 dm og bestemme radius i den beholder, der har den mindste overflade.

På forhånd tak for hjælpen!

Brugbart svar (1)

Svar #1
11. januar 2011 af peter lind

Find O(2)

Find O'x) og løs ligningen O'(x) = 0

Svar #2
11. januar 2011 af lilromeo (Slettet)

Mange tak for svaret, men jeg har lige et spørgsmål til.

Ved, at jeg differentiere og løser ligningen, vil jeg så kunne bestemme cylinderen, som har den mindste overflade?

Brugbart svar (1)

Svar #3
11. januar 2011 af peter lind

Ja. Løsningen er den radius, som giver mindst overflade.

Svar #4
11. januar 2011 af lilromeo (Slettet)

Okay, nu er jeg helt med :).

Tak skal du have

Brugbart svar (1)

Svar #5
11. januar 2011 af mathon

Volumen
   _halvkugle     _cylinde_r
                                    V =         (2π/3)·r³ + h·π·r² = 20

hvoraf

2h·π·r = (40/r) - (4π/3)·r²

overflade
_bund _halvkugle _{cylinderflade}
O(r) = π·r² + 2π·r² + h·2π·r

O(r) = 3π·r² + (40/r) - (4π/3)·r²

O(r) = (5π/3)·r² + (40/r)

O'(r) = (10π/3)·r - (40/r²)

Brugbart svar (1)

Svar #6
11. januar 2011 af mathon

ekstremum kræver
O'(r_o) = (10π/3)·r_o - (40/ro₂) = 0 og r>0

r_o = 1,56319

monotoniforhold:
for 0<r<r_o er O'(r)<0. hvorfor O(r) er monotont aftagende
for r>r_o er er O'(r)>0. hvorfor O(r) er monotont voksende

hvoraf ses, at
O(r) har minimim for r = r_o

Skriv et svar til: overflade af en cylinder

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.