Kædereglen med to variable

Eller er det:

dØ(dt(t) = ((df/dx₁(tx)x₁ + df/dx₂(tx)x₂)*t^k-f(tx₁,tx₂)*k*t^k-1

Den her opgave har plaget mig i et stykke tid nu :S. Er det rigtigt?

Det er de partielle afledede, jeg mener i #1

Man finder

dØ/dt = ((df(tx₁,tx₂)/dt)·t^k - f(tx₁,tx₂)·kt^k-1) / t^2k

           = ((x₁·∂f/∂x(tx₁,tx₂) + x₂·∂f/∂y(tx₁,tx₂))·t^k - k·f(tx₁,tx₂)·t^k-1) / t^2k

Heri indgår de partielle afledede ∂f/∂x og ∂f/∂y af funktionen f(x,y) .

Godt nok, så havde jeg jo også ret :) bort set fra, at jeg glemte at dividere med (t^k)²

Hmm, næste spørgsmål, som jeg også har undret mig over, lyder:

Vis, at hvis funktionen f er homogen af grad k, så er Ø konstant.

Det, jeg får, er:

Hvis f er homogen af grad k, så må det betyde, at t^k*(x₁,x₂), og Ø(t) definerede jeg tidligere i #0. t^k i tælleren og næcneren går ud med hinanden, og man ender med f(x₁,x₂)

Når man differentierer f(x₁,x₂) med hensyn til t, så får man 0. Dvs. Ø'(t) = 0 => Ø konstant

Er det rigtigt forstået?

Hov, hvorfor skriver du df/dy? Mener du df/dx₂? Og ligeledes med df/dx? Burde det ikke være df/dx₁?

(df/dy skal opfattes som den partielt afledede. Ved ikke hvordan man laver "bløde" d'er)

#5

I dit udtryk i #0 for Ø(t) må x₁ og x₂ antages at være konstanter. Funktionen f er en funktion af to variable, som jeg har kaldt x og y, altså f(x,y) . Du har opfattet f som en funktion af to variable (x₁ , x₂) ; der er blot tale om navneforandring. I min notation er ∂f/∂x den partielle afledede efter den første variable, mens ∂f/∂y er den partielle afledede efter den anden variable.

Symbolet ∂ finder du i Ω-boksen sammen med en række andre mat. symboler og græske bogstaver.

Hmm, hvordan skal man egentlig opfatte Ø(t)? Hvordan kan Ø(t) være en funktion af to variable, når den kun afhænger af t? Burde der så ikke stå fx Ø(t,r)?

#7

Funktionen Ø(t) er en funktion af den ene variable t . Det er funktionen f, der er en funktion af to variable.

Men, hvordan skal man så differentiere funktionen Ø(t)? Er det med hensyn til t eller med hensyn til x₁ og x₂? Det forvirrer mig en del. Jeg kan ikke rigtig se hvordan variablen y kommer ind i billedet. Hvordan er den knyttet til de andre funktioner og variable?

Afhænger funktionen f af x₁ og x₂ og så er t en konstant i dette tilfælde?

Funktionen Ø(t) er en funktion af t. Den er defineret ved hjælp af funktionen f(x,y) eller f(x₁,x₂) . Ser man på Ø(t) som funktion af t, skal x₁ og x₂ holdes fast.