Afledte funktioner - omregning. HJÆLP!

f(x)  =  7 * x⁶  + x * ln ( x )  -   (3 * e^x) / x          Find  f´(x)         Tag hvert led for sig.          

 Ja ja men det jeg tænker på at de 7 * x^6, om de skal helt ned, så der ingen eksponent er tilbage.

Dan nogle hjælpefunktioner:

f₁(x)  =  x

f₂(x)  =  ln x

f₃(x)  =  e^x

f₄(x)  =  1 / x

og sammensæt dem. Differentiér efter differentiationsreglerne for sammensatte funktioner.

Du skal vel bare differentiere ledvist...? Der er tre led. Først differentierer du 7x⁶. Så differentierer du x * ln(x). Da der er gange imellem dem, skal du bruge produktreglen. Til sidst differentierer du det sidste led. Det er en brøk, og der skal du derfor bruge brøkreglen.

Min lommeregner siger at det skal give ln(x) + (3/x² - 3/x) * e^x + 42 * x⁵ + 1

# 2      Hvis der i opgaven står, at du skal finde f'(x), skal du jo kun differentiere én gang.

Okay, føler mig helt dum, for forstod overhovedet ikke hvordan du fik det resultat? :)
- jeg har haft så mange problemer med det skide differentialregning, argh! forstår bare nada af det :(
- hvordan indsætter jeg så mange ting i henholdsvis produkt og brøkreglen?  

#2 - Så det er det første led du har problemer med? Man differentierer det sådan her:

f(x) = 7x⁶

f '(x)= 6 * 7x^6-1  <=>  f '(x) = 42x⁵

Mere skal man ikke gør ved det led

#6 - Det skal du ikke være ked af, der er også mange ting at holde styr på. Nu har det første led, det har jeg nemlig lavet for dig. Så er der andet led hvor du skal bruge produktreglen. Andet led er x * ln(x). Har du lært produktreglen? Den siger

f '(x) * g(x) + f(x) * g '(x)

Hvis vi siger at x er f og ln(x) er g, så skal vi også kende de to differentierede. Den afledte funktion af x er 1, så f '(x) svarer til 1. Den afledte funktion af ln(x) er 1/x, så g '(x) svarer til 1/x.

Så sætter vi det ind i produktreglen:

1 * ln(x) + x * 1/x

= ln(x) + 1
 

Nu håber jeg jeg har regnet rigtigt. Ellers må folk lige sige til.

Kan du selv sidste led med brøkreglen?

 Jeg kender den godt, ved bare stadig ikke hvilke faktorer som skal indsættes hvor. :(

Ok, vil prøve at hjælpe.. Brøkreglen er: (f ' * g - f * g')/ g²

Det der skal differentieres vha. brøkreglen er (3*e^x)/(x)
 

Det over brøkstregen siger vi er f, og det under brøkstregen siger vi er g. 

3 * e^x differentieret giver 3 * e^x. Så den afledte af f er altså 3 * e^x.

Den afledte af x er 1. Så den afledte af g er 1.

Nu sætter jeg det ind i brøkreglen:

(3e^x * x - 3e^x * 1) / x²  <=> 

Så må du selv reducere på udtrykket hvis du kan. Min lommeregner skriver en masse mærkelige ting, så ved ikke hvordan man reducerer det på den bedste måde...

Håber du forstod forklaringen. Hvis der var noget du ikke forstod, er du velkommen til at spørge igen.

Det er lidt svært at gøre det håndgribeligt på skrift, men jeg kan da prøve.

Vi betragter funktionen

f(x)=7x^6+x*ln(x)-3*e^x/x,

som vi ønsker at differentiere. Hvis vi hurtigt kaster et blik på funktionen, ser vi, at den kan deles op i tre delfunktioner, som skal differentieres. Der er tale om 7x^6, der er et normalt polynomium og således ikke burde volde problemer. Vi har desuden x*ln(x), som er et produkt, hvorfor vi må benytte produktreglen, som er

[f(x)*g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).

Sidst har vi en brøk 3e^x/x, som vi enten kan omforme til et produkt (ved at benytte os af, at 1/x=x^(-1) og så benytte produktreglen eller i stedet blot gå lige på og benytte kvotientreglen, som er

[f(x)/g(x)]'=[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/g(x)^2.

I dette tilfælde vil jeg vælge at benytte kvotientreglen - bare for sjov - for så får du set både kvotient- og produktreglen i praksis.

Vi har altså funktionen

f(x)=7x^6+x*ln(x)-3*e^x/x,

som differentieres ved

f'(x)=[7x^6]'+[x*ln(x)]'-[3e^x/x]'

      =42x^5+[x]'*ln(x)+x*[ln(x)]'-[3e^x/x]'             Først er kun(!) produktet markeret med fed

      =42x^5+1*ln(x)+x*1/x-[3e^x/x]'

      =42x^5+ln(x)+1-([3e^x]'*x-3e^x*[x]')/x^2       Så er kun kvotienten markeret tilbage

      =42x^5+ln(x)+1-(3e^x*x-3e^x*1)/x^2

      =42x^5+ln(x)+1-3e^x(x-1)/x^2

      =42x^5+ln(x)+1-3e^x*(1/x-1/x^2),

hvor du kan vælge at lade 3 være i parentesen, men jeg ville nok gøre sådan her. 

Håber du kan tolke mellemregningerne!

#11

Jeg forstår det nææsten .. Men forstår bare ikke de der [ ] ? :)

Det er bare parenteser som (). Jeg bruger bare de firkantede, når jeg i forvejen har brugt (), så det er nemmere at se, at der er flere parenteser. :)

 Okay. 

Hvis jeg så skal forklare hvordan jeg har brugt regnereglerne, skal jeg så bare skrive at i første led, lægger jeg 6 ned foran x'et og opløfter derefter med 5, og det giver 42x^5, og så skal jeg bruge produktreglen i næste led, hvor de ganges sammen, og jeg får ln(x) - 1, og derved i sidste led, skal jeg bruge brøkreglen, og differentiere, og da det er 3e^x er den afledte også det, og så skal det divideres med x^2 - sådan? - eller er det for kort? 

Man forklarer ikke i ord. Du skriver mine mellemregninger, det er forklaring nok og en matematisk en af slagsen. Men før du skriver dem ned, sørger du lige for at være helt sikker på, at du forstår, hvad der foregår, så du kan gøre det helt på egen hånd næste gang.

 Jeg takker mange gange for jeres hjælp! fordi jeg har virkelig haft svært ved det her emne, fordi jeg har været syg ind i mellem og ikke rigtig lært det ordentligt, så mange mange tak, for tror faktisk jeg er ved at lærer det nu! :) 
- i må have en fortsat god aften, skal nok vende tilbage, hvis der er mere jeg ikke forstår! :)

 '' idet du gør detaljeret rede for alle de regneregler, som du bruger undervejs.''
- betyder det ikke, at jeg skal beskrive det?

Jeg vil mene, at der er taget højde for det i #11. Du kan dog eventuelt skrive, hvilken regel du benytter hvornår. Jeg har jo opskrevet regnereglerne oven over mellemregningerne, så dem kan du bare tilføje ved siden af mellemregningerne, når du benytter dig af dem, hvis du synes.