Matematik
Vinkel mellem tangent og ligning
OPGAVE 1014:
Opgaveformulering:
a) Tegn grafen for funktionen f(x) = sin(x)
b) Bestem et regneudtryk for afstanden fra punktet A(3,2) til et punkt P(x,sin(x)) p grafen for f (betegnes g(x))
c) Bestem x’s afstanden g(x)=|AP| er minimal og betegn den fundne x-værdi med x0
d) Indtegn punktet P0(x0,sin(x0)) p grafen for f, og beregn vinklen mellem linjen AP0 og tangenten til grafen P0.
Opgavebesvarelse:
b) g(x) = √((x-3)^2+(sin(x)-2)^2)
c) x0= 2,242
d) Her kommer problemet! Jeg er 100% sikker på de to ovenstående opgaver er rigtige, så det er bare den her, jeg har brug for hjælp til.
Tangentens ligning får jeg til at være y=0,78 da a=0 (g'(x0)=0)
Ligningen for AP0 får jeg til at være y=1,6095x-2,8285 (fundet vha. en normalvektor for ligningen)
Problemet er bare, at jeg her går i stå.. Har fundet en ligning andre steder, der siger at vinkel mellem de to ligninger er tan-1(a1)-tan-1(a2). Når jeg anvender denne formel får jeg bare, at vinkel er 1 grad (når lommeregneren er indstillet på radian)..
Det rigtige svar er 90 grader, så et eller andet sted, må det jo gå galt ;-)
Håber der sidder en mega rar sjæl derude, der har super meget lyst til at hjælpe mig ;-)
Svar #1
24. februar 2011 af Andersen11 (Slettet)
Det skal vises analytisk, ikke numerisk.
Lad punktet A(3,2) have koordinaterne (x1 , y1). Afstanden D(x) fra punktet A til punktet P på grafen for funktionen f(x) er bestemt ved
D(x)2 = (f(x) - y1)2 + (x -x1)2
For at finde den mindste afstand, skal vi løse ligningen dD/dX = 0. Vi har nu
2D(x)·D'(x) = 2·(f(x) -y1)·f'(x) + 2(x -x1) , og vi ser
D'(x0) = 0 ⇒ (f(x0) -y1)·f'(x0) + (x0 -x1) = 0 , hvoraf ses
(f(x0) - y1)·f'(x0) / (x0 - x1) = -1
Linien gennem punktet A og punktet P, hvor afstanden D er minimum, har hældningskoefficienten
a1 = (f(x0) - y1) / (x0 - x1) .
Tangenten til grafen for funktionen f(x) i punktet (x0 , f(x0)) har hældningskoefficienten
a2 = f'(x0) , og vi ser nu
a1·a2 = (f(x0) - y1)·f'(x0) / (x0 -x1) = -1 .
De to linier står derfor vinkelret på hinanden.
Svar #2
24. februar 2011 af Krabasken (Slettet)
Du skriver:
"Tangentens ligning får jeg til at være y=0,78 da a=0 (g'(x0)=0)"
Det er dér, det går galt.
Du finder tangenten til g (x) - men i opgaven er underforstået:
Find tangenten til f (x) i punktet P0 ;-)
Skriv et svar til: Vinkel mellem tangent og ligning
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.