Kontinuert funktion?

At en funktion er kontinuert betyder lidt løst sagt, at grafen for funktionen hænger sammen.

En kontinuert funktion har altid en stamfunktion.

For at en funktion skal kunne differentieres er det nødvendigt, men ikke nok(tilstrækkeligt) at den er kontinuert.
En differentiabel funktion er altså altid kontinuert, men det omvendte gælder ikke.

Super, takker IsaacN :)

Et spørgsmål mere:

Hvornår er en funktion differentiabel og hvornår er den ikke?

Som sagt før, er en differentiabel funktion altså altid kontinuert, men samtidig har en differentiabel funktion en tangent til alle punkter på f. Altså hvis du har en graf, hvor en funktion knækker i (x₀, y₀), er funktionen ikke differentiabel, da den ikke har nogen tangent i (x₀, y₀)

Mange tak skal du have :)

Det er så overhovedet ikke definitionen på en kontinuert funktion, men det kan være, at definitionen er for avanceret til gymnasienivau, da den i nogen grad kræver kendskab til topologi.

På  2. år,  A-niveau, skulle kontinuitetsformuleringen gerne være mere på plads end blot sige, at funktionen skal være sammenhængende. Så for at følge # 5 op:

En funktion  f  er kontinuert i punktet x₀ når:

      ∀ε  > 0 ∃ δ > 0 :    | x - x₀ | < δ    ⇒    | f (x) - f (x₀) |  <  ε   .

Kan man, til et selv nok så lille ε  > 0 finde et δ > 0 , så implikationen er sand, har man vist, at f er kontinuert i x₀ .

Definitionen på differentiabilitet i punktet x₀ : 

 At  f  er differentiabel i punktet x_{0 ,} er ensbetydende med, at grænseværdien

    ( f (x₀ + h) - f (x₀) ) / h    for  h →  0      eksisterer.

I øvrigt er det ikke korrekt,  # 1,  at enhver kontinuert funktion har en stamfunktion. Nogle funktioner lader sig ikke integrere v.h.a. traditionelle stamfunktioner. Vi har som eksempel :

        ∫ e ^{- ½ x2} dx        (eksponenten til e :     - ½ x² ) .

Jeg er første-års elev på HTX, der er nok sket en smutter i profilen, retter jeg nu.

Vi er lige begyndt at arbejde med 'funktioner'. Jeg hørte at min lære ville fortælle noget om kontinuerte og differentiable funktioner på mandag og ville gerne være en smule forberedt, derfor er dette spørgsmål oprettet.

Men nu ved jeg da at det ikke er så let endda :)

Mange tak til jer alle :)