Spørgsmål om ulighed

Hvis f(x) er konstant gælder der lighedstegn

f(x)·Δx = ΔA  eller  f(x)·Δx < ΔA

                                           ΔA = f(x+Δx)·Δx  eller  ΔA < f(x+Δx)·Δx

                                                                                      f(x+Δx)·Δx = f(x)·Δx  eller  f(x+Δx)·Δx > f(x)·Δx

Fordi funktionen f ikke nødvendigvis er strengt voksende.

Forudsætningen er kun

"Lad f være kontinuert og ikke-negativ
i intervallet I = [a;b]."

#3

Hvad vil det sige med strengt voksende?

#4

En funktion f(x) er strengt voksende, hvis der gælder: x₂ > x₁ ⇒ f(x₂) > f(x₁) for alle x₁, x₂

En funktion f kan siges at være strengt voksende, hvis der for x₁, x₂ i dens definitionsmængde gælder:

 x₂ > x₁ => f(x₂) > f(x₁)

Så man siger at f(x)*Δx ≤ ΔA ≤ f(x+Δx)*Δx fordi man ikke ved, om funktionen er strengt voksende?

Er der et eksempel på en funktion som ikke er? Er f(x) = 1/x en af dem?

1/x er strengt aftagende  hvis man ikke "hopper" over 0, hvor funktionen ikke er kontinuert. Hvis en funktion er voksende; men ikke strengt voksende, vil den være konstant i et eller andet interval.

siger man så: f(x)*Δx ≤ ΔA ≤ f(x+Δx)* fordi at når den er strengt voksende, så vil f(x) være konstant i et interval, og dette interval kan svare til bredden af rektanglet? 

Hvis den er strengt voksende gælder der  skarp ulighed. Hvis den ikke er strengt voksende, vil der være mindst et interval, hvor funktionen er konstant. I intervaller hvor f(x) er konstant gælder der ligheds tegn.

Hvis funktionen er er konstant vil f(x) = f(x+Δx). Indsættes dette i uligheden fås f(x)*Δx) ≤ ΔA ≤ f(x)*Δx. Dette holder åbenlyst kun når der er lighedstegn

 #10

Så det er korrekt hvad jeg skriver i #9 ?

mener du ikke f(x)*Δx) ≤ ΔA ≤ f(x+Δx)*Δx ?

hvad mener du med  "Dette holder åbenlyst kun når der er lighedstegn" ?

 desuden!

Hvis f(x)*x=f(x+Δx)*x

vil ΔA så ikke være = f(x) ?

Da  så f(x)*x≤ ΔA ≤ f(x)*x ? Er funktionen desuden ikke nødt til IKKE at være strengt voksende , da f(x)*x < ΔA<f(x)*x jo ikke har en løsning? 

 Det jeg nok egentligt spørger om er, at hvorfor det også gælder for strengt voksende, når f(x)*Δx) ≤ ΔA ≤ f(x+Δx)*Δx. I mine øjne er denne ulighed "forbeholdt" ikke strengt voksende?

#13

Uligheden f(x)*Δx ≤ ΔA ≤ f(x+Δx)*Δx er ensbetydende med

f(x)*Δx ≤ ΔA   (og)   ΔA ≤ f(x+Δx)*Δx , som er ensbetydende med

(f(x)*Δx < ΔA v f(x)*Δx = ΔA)  (og)  (ΔA < f(x+Δx)*Δx v ΔA = f(x+Δx)*Δx) ,

som indeholder det strengt voksende tilfælde.

Sagt på en anden måde: en strengt-voksende funktion er også ikke-strengt voksende.

 #14

Okay - så beviset kan altså IKKE føres, hvis man ikke tager det ikke strengt voksende tilfælde med?

#15: Joh da! Lad nu være med at fucke det hele op. Beviset bliver bare " uinteressant " for konstante funktioner.

Men du SKAL holde fast i FORUDSÆTNINGEN jeg opkastede i #3:

Funktionen kan jo også godt være aftagende...

 #16

Jeg er tilsyneladende ikke en math wiz, men sådan her tænker jeg:

Hvis jeg gjorde det for en strengt voksende funkion så vil det jo se således ud: f(x)*Δx < ΔA < f(x+Δx)*Δx.

Det kan i min verden ikke gå op?

Det går da fint op!

Hvorfor skulle det da ikke gå op??!!

den ulighed kan da ikke løses?

Det går heller ikke ud på at løse en ulighed, men at lave en vurdering for " hvor " differentialkvotienten for arealfunktionen ligger når Δx går mod nul.